合肥工业大学2006年复变函数与积分变换期末考试试题A

合肥工业大学2006年复变函数与积分变换期末考试试题A合肥工业大学2006年《复变函数与积分变换》试卷一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）已知是解析函数，则=，=，=。（2）设的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为。（3）已知，则=。（4）在处的伸缩率为，转动角为。（5）设则=。二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）函数在点处可导是在该点解析的（）（A）充分条件。（B）必要条件。（C）充要条件。（D）既非充分也非必要条件。（2）将平面上的直线映射成平面上的曲线（）（A）。（B）。（C）。（D）。（3）设曲线为单位圆，取正向，则积分（）（A）。（B）。（C）。（D）0。（4）级数（）（A）条件收敛。（B）绝对收敛。（C）发散。（D）敛散性不定。（5）是函数的（）（A）非孤立奇点。（B）可去奇点。（C）一级极点。（D）本性奇点。三、（12分）已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并满足。四、（20分）计算下列积分：（1），其中为抛物线上从点0到点的一段弧；（2），：，正向；（3），：，正向；（4）。五、（12分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：（1）；（2）；（3）。六、（10分）求将上半平面映射成单位圆且满足条件的分式线性映射。七、（12分）应用Laplace变换解微分方程：八、（4分）设函数在区域内解析，且在区域内是一个常数，证明在内恒为常数。合肥工业大学2006年《复变函数与积分变换》试题解答一、（1）1，-1，2；（2）；（3）；（4）12，；（5）.二、（1）B；（2）A；（3）D；（4）A；（5）C.三、.由得由，并比较（1）式，得，，所以由得，所以四、（1）原式（2）都是的一级极点，但只有在内部.Res,Res.原式.（3）是的一级极点，是的二级极点。ResRes原式=.（4）在上半平面内有一个一级极点.Res原式五、（1）（2）（3）六、设，则由得，即，所以七、设.在方程两边取Laplace变换，得.将初始条件代入上式并整理，得.ResRes八、常数，由方程，得（*）若，则，结论成立；若，由（*）得，所以。同理，从而常数。