化归思想在常微分方程中的应用

常微分方程的化归思想黄雪燕(钦州学院数学与计算机科学系,广西钦州�535000)[摘�要]通过分析一阶微分方程初等解法、皮卡逐步逼近法、高阶微分方程解法、线性微分方程组解法,揭示了常微分方程求解过程中的化归思想,指出正确把握化归思想对培养数学思维能力、应用能力具有重要意义。[关键词]常微分方程;化归;求解[中图分类号]O175���[文献标识码]A���[文章编号]1008-178X(2007)04-0024-03[收稿日期]2007-02-12[基金项目]新世纪广西高等教育教学改革工程�十一五�精品课程改革与建设项目,数学建模课程的改革与建设(2006072)[作者简介]黄雪燕(1974-),女,广西灵山人,钦州学院数学与计算机科学系讲师,吉林大学数学所硕士研究生,从事应用数学研究。1�引言微分方程是在解决实际问题的过程中产生的,对它的研究又促进了实际问题的解决,同时也促进了其他学科的发展。微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。微分方程的实际背景广,应用性强,充分体现了数学思想及应用数学的能力。数学中的化归思想,是指在研究数学问题时,把未解决的问题通过某种转化过程归结到另一类已经解决或者比较容易解决的问题中去,最终使原问题得到解决的一种思维方法。从常微分方程发展历程可以看出,化归是常微分方程的重要数学思想方法,变量代换法、常数变易法、级数解法、逐步逼近法、算子法、相平面分析法等,都是用联系、变化的观点,有意识地将问题化繁为简,化归解决的。非齐次方程问题化为齐次方程问题,一阶线性方程组化为一阶线性方程问题,高阶方程问题化为低阶方程问题。常系数非齐次线性微分方程,经采用欧拉待定指数函数法,将求解问题化归为代数方程根的问题,从而省去了积分运算;皮卡逼近法,将微分方程的解问题化归为积分方程的解问题,进而化归为一致收敛的函数列问题;拉普拉斯变换将常系数线性非齐次微分方程的边值问题,化归为关于未知函数的拉氏变换像函数的代数方程问题,完全符合化难为易,化未知为已知,化繁为简的化归原则。化归思想方法的主要特点在于它具有很强的目的性、方向性和概括性,就是希望通过由未知到已知、由难到易、由繁到简化的归来达到解决问题的目的。化归思想应用的关键在于如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转化。2�一阶微分方程初等解法中的化归在一阶常微分方程的五种常见类型���变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程中,实际上作为基础的不外是变量分离方程和恰当方程,其他类型的方程均可借助变量变换或积分因子化为这两种类型。这种转化,正是化归思想的体现。例1�求方程dydx=4x3-2xy3+2x3x2y2-6y5+3y2的解。�24�分析:方程右端分子分母项都有公因子,提取之,方程化为dydx=2x(2x2-y3+1)3y2(x2-2y3+1)即3y2dy2xdx=2x2-y3+1x2-2y3+1,做变量变换u=x2,v=y3,则dvdu=3y2dy2xdx,故方程进一步化为dvdu=2u-v+1u-2v+1。解方程组2u-v+1=0u-2v+1=0,可得u=-13v=13再做变量变换z=u+13,w=v=13,化为齐次方程dwdz=2z-wz-2w令s=wz,则w=sz,dw=s+zdsdz方程进而化为1-2ss2-s+1ds=2zdz,为变量分离方程,可两边积分求解。由上例可见,该方程可经三次变量变换,层层化归,最终化归为变量分离方程求解。3�皮卡逐步逼近法中的化归考虑一阶微分方程dydx=f(x,y)(3.1)f(x,y)是在矩形域R:|x-x0|�a,|y-y0|�b上连续的函数。有解的存在唯一性定理(参见文献[3]),在一阶方程的解的存在唯一性定理证明过程中,采用了皮卡逐步逼近法(只讨论区间x0�x�x0+h)。首先,证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程y=y0+�xx0f(x,y)dx的连续解,然后去证明积分方程的解的存在唯一性。此积分方程解的存在唯一性可以用数学分析中级数收敛以及定积分的有关性质得到。证明过程中构造的皮卡逐步逼近函数序列:�0(x)=y0�n(x)=y0+�xx0f(�,�n-1(�))d�,x0�x�x0+h(n=1,2,�)其中的�n(x)称为初值问题的第n次近似解。从而,微分方程的初值问题化归为积分方程求解。例2�求方程dydx=x-y2通过点(1,0)的第二次近似解。解:��0(x)=y0=0�1(x)=y0+�x1[�-�0(�)]d�=x22-12�2(x)=y0+�x1[�-�1(�)]d�=x22-x520+x36-x4-11304�高阶微分方程解法中的化归对于常系数齐线性方程,采用特征根法(或欧拉待定指数函数法)求其基本解组,把微分方程的求解问题化归为代数方程的求根问题,从而省去了积分运算的麻烦。拉普拉斯变换法则首先将线性微分方程转换成复变数的代数方程,再由拉普拉斯变换表或反变换公式求出微分方程的解。待定系数法用于方程右端f(t)是某些基本函数的非齐线性方程情形,待定系数法和特征根法的特点在于把积分运算化归为解代数方程,或加上微分运算即可求得微分方程的解。幂级数解法的思想和待定系数法类似,也是把积分运算化归为代数运算。例3�求解方程x(4)-2x�+x=t2-3。�25�解:写出对应齐线性方程的特征方程�4-2�2+1=0特征根为�1=�2=1,�3=�4=-1。对应齐线性方程的通解为x=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t再用待定系数法求原方程的一个特解:�f(t)=t2-3�原方程有形如�x=B0t2+B1t+B2的特解�将其代入原方程,比较两边系数,得B0=1,B1=0,B2=1�原方程的通解为x=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t+t2+15�线性微分方程组解法中的化归求解非齐线性微分方程组,关键在于求出它所对应的齐线性方程组的基解矩阵,有了基解矩阵,齐线性方程组的任一解可由基解矩阵表示,而非齐线性方程组的任一解亦可通过积分由基解矩阵表示。对于系数矩阵是常数矩阵的齐线性方程组,其基解矩阵可通过系数矩阵的特征根特征向量或用拉普拉斯变换法求出。这样,常系数的线性微分方程组问题,化归为代数问题求解。例4�试求方程组x�=Ax+f(t)的解�(t),其中�(0)=-1�1,A=1243,f(t)=et1解:先求对应齐线性方程组x�=Ax的一个基解矩阵�(t)=[�1(t),�2(t)]=13e5t+23e-t13e5t-13e-t23e5t-23e-t23e5t+13e-t�齐线性方程组的基解矩阵有�(t)=exp(At)�所求初值问题的解就是�(t)=exp(tA)�+�t0exp[(t-s)A]f(s)ds=�14et-e-t+320e5t-25-12et+e-t+310e5t+156�结语常微分方程是大学本科的一门必修基础课,是数学分析、高等代数和解析几何的应用和发展。学好这门课程不仅可加深这三门课已学过的概念和方法,提高应用能力,而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具,更是通向物理、经济等学科和工程技术的桥梁。通过上述分析,可见常微分方程的求解过程蕴涵着丰富的化归思想。正确认识并灵活掌握化归思想,才能领会常微分方程的奥妙,促进培养良好的数学素养,提高创新能力。[参考文献][1]常广平.常微分方程的思想方法与应用[J].北京联合大学学报,2005,6,45-47.[2]郑毓信.数学方法论[M].广西教育出版社,1996,12,67-70.[3]王高雄.常微分方程[M].高等教育出版社,2004,7,66-74.TheTransformationMethodtoOrdinaryDifferentialEquationHUANGXue-yan(DepartmentofMathematicsandComputerScience,QinzhouCollege,Qinzhou535000,China)Abstract:Byanalyzingseveraltypicalexamplesofordinarydifferentialequation,itshowsthattransformationthoughtisanimportantmethodinsolutiontoordinarydifferentialequation.Inthispaperwealsopointouttheimportanceofmasteringthetransformationmethod.Keywords:ordinarydifferentialequation;transformationmethod;solution�26�__