北京交通大学2001年研究生入学考试信号与系统复试试题及答案

北京交通大学2001年硕士研究生入学考试试题符号说明：为符号函数，为单位冲击信号，为单位脉冲序列，为单位信号，为单位阶跃序列。一、填空1.已知，求。2.已知，求。3.信号通过系统不失真的条件为系统函数。4.若最高角频率为，则对取样的最大间隔是。5.信号的平均功率为。6.已知一系统的输入输出关系为，试判断该系统是否为线性时不变系统。7.已知信号的拉式变换为，求该信号的傅立叶变换=。8.已知一离散时间系统的系统函数，判断该系统是否稳定。9.。10.已知一信号频谱可写为是一实偶函数，试问有何种对称性。二、简单计算题1.已知连续时间系统的单位冲激响应与激励信号的波形如图A-1所示，试由时域求解该系统的零状态响应，画出的波形。)(tSgn)(t)(k)(t)(k)()4()(2tttf_______)(tf}4,2,4,3{)(},1,2,2,1{)(khkf______)()(khkf_______)(jH)(tfm)4(tf______tttf30cos220cos4)(______)3()(tfty______)1)(1(1)(2sssF)(jF______2121)(zzzH______dtttt)1()2(2______)(,)()(3AeAjFj)(tf______)(th)(tf)(ty)(ty图A-12.在图A-2所示的系统中，已知，求该系统的单位脉冲响应。图A-23.周期信号的双边频谱如图A-3所示，写出的三阶函数表示式。图A-34.已知信号通过一线性时不变系统的响应如图A-4所示，试求单位阶跃信号通过该系统的响应并画出其波形。图A-45.已知的频谱函数，试求。)()5.0()(),2()(21kkhkkhk)(kh)(kf)(ky)(1kh)(2kh)(tf)(tf-3-2-11023n2nF)1()()(tttf)(ty)(t)(tyt220)(tf)1()1()(SgnSgnjF)(tf6.已知一连续时间系统的单位冲激响应，输入信号时，试求该系统的稳态响应。7.某离散系统的单位脉冲响应，求描述该系统的差分方程。8.已知一离散时间系统的模拟框图如图A-5所示，写出该系统状态方程和输出方程。图A-5三、综合计算题1.一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为已知由s域求解：(1)零输入响应，零状态响应，完全响应；(2)系统函数，单位冲激响应并判断系统是否稳定；(3)画出系统的直接型模拟框图。2.一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为已知由z域求解：(1)零输入响应，零状态响应，完全响应；)3(1)(tSathtttf,2cos3)()(])5.0()1[()(11kkhkk1za1zb--)(kf)(1ky)(2ky)(2kx)(1kx)(3)('2)(10)('7)(tftftytyty,1)0(',1)0(),()(yytetft)(tyx)(tyf)(ty)(sH)(th0)()2(2)1(3)(kkfkykyky,3)2(,2)1(),()(yykkf)(kyx)(kyf)(ky(2)系统函数，单位脉冲响应。(3)若，重求（1）、（2）。3.试分析图A-6所示系统中B、C、D、E和F各点频谱并画出频谱图。已知的频谱如图A-6，。图A-6)(zH)(kh)5()()(kkkf)(tf)(jFnTTnTtt02.0),()(1)(1jH100120100120)(2jH12020)(ty)(tfABCDEF)(tTt100cos)(jFA0.12020参考答案一、解：1.，2.利用排表法可得3.信号通过系统不失真的条件为系统函数4.信号的最高频率为，根据Fourier变换的展缩特性可得信号的最高角频率为，再根据时域抽样定理，可得对信号取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔为5.，利用Parseval功率守恒定理，可得信号的平均功率为6.根据已知有，由于，故系统为线性时变系统。7.由于信号s域表达式中有一个极点在右半s平面，故傅立叶变换不存在。8.由于系统的极点为，有一个极点在单位圆上，故系统不稳定。9.利用冲激信号的展缩特性和取样特性，可得)(4)(2)()4()(2)('2ttrtttttf)('4)(2)(tttf}4,6,8,3,4,10,3{)()(khkf0)(tjKejH)(tfm)4/(tf4/m)4/(tfmaxTmT4maxmaxtjtjtjtjeeeetttf303020202230cos220cos4)()(tf101122222nnFP)3()}({)(),3()}({)(),3()}({)(222111tftfTtytftfTtytftfTty)()()3()3()}()({212121tbytaytbftaftbftafT)()3()}({000ttyttfttfT)(jF5.0,121zz3)2()1()2()1()2(1222tttdttttdtttt10.根据Fourier变换的共轭对称性，由于为实偶函数，故信号应为实偶函数。再利用Fourier变换的时移特性，频谱相频特性对应信号右移3，因此信号是关于t=3的偶对称的实信号。二、解：1.系统的零状态响应，其波形如图A-7所示。图A-72.3.写出周期信号指数形式的傅立叶级数，利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示式为4.因为故利用线性时不变特性可求出通过该系统的响应为波形如图A-8所示。)(A)(jF3)()()(thtfty12340t246)(th)2()5.0()(][)5.0()2()()()()()(221kkkkkkhkhkkhkk)(tftteeeeeFtftjtjtjtjntjnn00222cos2cos42222)(000000)()()1()()(iitfitftftft)(t0)()}({iitytT12340t1235)}({tT图A-85.，因为，由对称性可得：，因此，有6.系统的频响特性为利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即可以求出信号，作用在系统上的稳态响应为7.对单位脉冲响应进行z变换可得到系统函数为由系统函数的定义可以得到差分方程的z域表示式为进行z反变换即得差分方程为8.根据图A-5中标出的状态变量，围绕输入端的加法器可以列出状态方程为围绕输出端的加法器可以列出输出方程为)(21,01,2)1()1()(2gSgnSgnjF)(2)(2Satg)(2)(2)(222ggtSa)(2)(tSatf3,03,3/1)(31)]([)(6gthFTjH))(cos()()}{cos(0000tjHtTtttf,2cos3)(tttfT,2cos311)}({211115.05.115.235.01211)(zzzzzzH)()5.23()()5.05.11(121zFzzYzzf)1(5.2)(3)2(5.0)1(5.1)(kfkfkykyky)()()1(),()()1(2211kfkbxkxkfkaxkx)()()(),()()(212211kxkxkykxkxky写成矩阵形式为三、解：1.(1)对微分方程两边做单边拉斯变换得整理后可得零输入响应的s域表达式为进行拉斯反变换可得零状态响应的s域表达式为进行拉斯反变换可得完全响应为(2)根据系统函数的定义，可得)(11)()(00)1()1(2121kfkxkxbakxkx)()(1111)()(2121kxkxkyky)()32()(10)0(7)(7)0(')0()(2sFssYyssYysysYs)(10732107)0(7)0(')0()(22sFsssssyysysY51221078)(2ssssssYx0,2)(52teetyttx57/1223/114/1)1)(107(32)(10732)(22ssssssssFssssYf)()1273141()(52teeetytttf0,12193141)()()(52teeetytytytttfx53/723/110732)()()(2ssssssFsYsHf进行拉斯反变换即得由于系统函数的极点为-2、-5，在左半s平面，故系统稳定。(3)将系统函数改写为由此可画出系统的直接型模拟框图，如图A-9所示图A-92.(1)对差分方程两边进行z变换得整理后可得进行z变换可得系统零输入响应为零状态响应的z域表示式为进行z反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应为)()3731()(52teethtt2121107132)(sssssH1s1s23710)(sF)(sY--)()}2()1()({2)}1()({3)(121zFyyzzYzyzYzzY11212211214142314231)2(2)1(2)1(3)(zzzzzzzyyzyzYx)(])2(4)1(4[)(kkykkx)21(3/4)1(2/1)1(6/1113311331)()(11112121zzzzzzzzzFzYf)(])2(43)1(2161[][kkYkkf(2)根据系统函数的定义，可得进行z反变换即得(3)若，则系统的零输入响应、单位脉冲响应和系统函数均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为完全响应为3.B、C、D、E和F各点频谱分别为频谱图如图A-10所示)(]61)2(38)1(27[)()()(kkykykykkfx1121212112311)()()(zzzzzFzYzHf)(])2(2)1([)(kkhkk)5()()(kkkf)(kyx)(kh)(zH)5(])2(43)1(2161[)(])2(43)1(2161[)5()()}5()({55kkkykykkTkkkkff)5(])2(43)1(2161[)(])2(38)1(2761[)}5()({)()(55kkkkTkykykkkkx1002,)()(000TnjFnBnnBCnFnFTjFjFjF)100(50)(1)()(21)(0)()()(1jHjFjFCD)]100()100([21)(DDEFFjF)()()()(2jHjFjYjFEF图A-100100200100200)100()(BF080100200)(cF1208010012020