您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 行业资料 > 交通运输 > 北京交通大学数学建模习题参考解答
习题(以下三题中任选一题,一周内交)请严格按照“合理假设,数学模型的建立和求解,解释验证”的步骤来回答下列问题.1.花旗银行的一则低息现金贷款广告:2.借50,000元,分36期(月)还清,每月还1,637元.问:该银行的贷款月利率为多少?为了求出月利率需要解什么样的数学问题,能够手算吗?参考解答:1.假设:月等额还款,36期(月)还清。2.模型建立:同讲课0,...,2,1,0,)1(1NnnANnxrAA3.模型求解:过程同讲课rrxrANN1)1()1(001)1()1)(11(0,1)1()1(000NNNNrxrrArxrrA016371)1(637,51)1(000,5001)1)(()1(3637010rrxrAxrANN为了求r可以先画函数1)1()1(0NNrxrrA或xrAxrANN1)1)(()1(010的图形,看其零点的大概位置,例如可用命令Plot[}01.0,0,{],1)1[()1(0rrxrrANN]得到0.0020.0040.0060.0080.01-20-15-10-5510大约在0.08或0.09附近,再用求根命令FindRoot[}]08.0,{,0]1)1[()1(0rrxrrANN]得到r=0.00916892.4.解释验证:把36,50000,0.009168920NAr代入1)1()1(0rrrrrAx即得23735748`1636.99988x.如果你会算,那么见到另一个银行的广告为36,500000.009,0NAr,你就知道月还款一定少于1637。如果你又见到另一个银行的广告36,500000.009,0NAr你就知道月还款一定多于1637.你就会明白银行的广告,为什么总要隐藏一些信息.2.甲从一个借贷公司贷款60000美元,年利率为12%,25年还清.假设是月等额还款(即一月为一期),问他每月要还多少美元?(答案:约632美元.总还款额为189600美元.)这时有另一家借贷公司出来跟甲说:“我可以帮你提前2年还清贷款,并且每个月不需要多交还款”.该借贷公司提出的条件是:1.每半个月交一次还款,每次还款额是原来的一半(这似乎并没有增加甲的负担);2.因为每半个月就要给甲开一张收据,文书工作多了,所以要求甲预付3个月的还款,即先付6323=1896美元,(这似乎也有一定的道理).甲想了想:提前两年还清贷款就可以少还63224=15168美元,而先付的1896美元只是15168美元的八分之一.于是甲认为这是一笔合算的买卖.试问这另一家借贷公司是会赔钱(它是一家慈善机构!)还是仍然可以赚钱?把原来的一期(一个月)拆分为相等的两期,从而将每期的还款额x替换成x/2,每期的利率r替换成r/2确实能够提前还清吗?如果是,能提前多少时间还清?参考解答:1.假设:月等额还款。2.模型建立:同讲课0,...,2,1,0,)1(1NnnANnxrAA但是现在要求的是到底能提前几年还请,即在一定条件下求N。3.模型求解:过程同讲课,要从rrxrANN1)1()1(00求出N。分析:你已经预交了1896美元,那就是说你只借了60000-1896=58104美元。即在632,58104,01.00xAr的条件下求N。可以先画函数1)1()1(0NNrxrrA或xrAxrANN1)1)(()1(010关于N的图形,Plot[}310,290,{],1)1[()1(0NrxrrANN]180200220240260280-200-100100200300400可见N约在240和260之间,再用求根命令FindRoot[}]250,{,0]1)1[()1(0NrxrrANN]得到N=253.04167469781055,即只要大约253个月就可以还请了,几乎提前4年就可以还请。4.解释验证:把662,58104,01.00xAr代入1)1()1(0rrrrrAx即得632.023x.该公司可以坐收几乎2年的利息。可见该公司决不是慈善机构,而是在漂亮外衣的包装下算计着赚你的钱。3.为什么同样的借贷利率,总还款额(本息合计)会有不同呢?请仔细阅读1998年12月30日《金陵晚报》下面的报道:“一笔总额为13.5万元的个人住房组合贷款,在两家银行算出了两种还款结果,而差额高达万元以上,这让首次向银行借款的江苏某进出口公司程姓夫妇伤透了脑筋.据介绍,小程打算贷8万元公积金贷款和5.5万元商业性贷款,他分别前往省建行直属支行和市建行房地产信贷部咨询,其结果是,这13.5万元贷款,分15年还清,在利率相同的情况下省建行每月要求还本付息1175.46元(其中公积金贷款660.88元,商业性贷款514.58元),而市建行每月要求还1116.415元(其中公积金贷款634.56元,商业性贷款481.855元).按贷款180个月一算,省建行的贷款比在市建行贷款要多10628.1元.但两家银行均称,结果不一样纯属正常.有关行家向记者解释说,省建行虽然也是等额还款,但实行的是先还息后还本原则,用行话说就是按月结息,每月还本还息不等,但每月总额一样.举个简单的例子,若每月等额还款1,000元,第一个月还本息分别为100元、900元,而第二个月还本息分别变为200元、800元,依此类推.而市建行实行的是较便于市民理解的等本、等息、等额还款法.为不让市民首期还款时面对巨额利息为难,该行取了一个利息平均值,平摊到每个月中.上述两种算法都是人民银行许可的.值得一提的是,小程夫妇的麻烦已引起了央行的重视,为规范个人住房贷款计息办法,央行重新明确了个人住房贷款的利息计算方法.从1999年1月1日起,除保留每月等额本息偿还法外,又推出了利随本清的等本不等息递减还款法公式是:每月还款额={(贷款本金÷贷款期月数)+(本金–已还本金累计额)×月利率}.同一笔贷款按这两种方法计算还款,偿还总金额相同.”请回答下面的问题:1.省建行的“每月等额本息偿还法(先还息后还本原则)”中的每月还款额是怎样算出来的?2.央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额是怎样算出来的?并用市建行的结果进行计算.3.市建行的“等本、等息、等额还款法”是怎样得到的?4.试分析这三种算法的不同之处及利弊.参考解答:我们只对商业性贷款来回答这四个问题,关于与公积金贷款同样的问题留作习题.首先,我们只知道两个银行的利息相同,但并不知道具体是多少.不过我们知道055000180514.58Anx元,月元,.所以,由(3.1-9)可以解得r=0.006375.由此我们就可以回答这四个问题.(对于公积金贷款可以类似地算得r=0.004725.)1.由(3.1-6)就可以算得省建行的“每月等额本息偿还法(先还息后还本原则,也称为等额本息法)”中的每月还款额x=514.58元.总还款额为180514.58=92624.4元,因此,总利息为92624.4–55000=37624.4元.(对于公积金贷款可以类似地算得总还款额为118958.4,所以总利息为118958.4-80000=38958.4.所以两类贷款的总还款额为38958.4+37624.4=76582.8元.)2.对于“利随本清等本不等息偿还法(也称为等额本金法)”,用kx记第k月的还款,等本偿还的意思就是每月要还本0/An,而且每月都要付清利息,从而每月要还的利息是不同的,第k月还的利息为011kArn,因此,第k月还款的模型为0011,1,2,...,kAkxArknnn.还款总额为001(1)2nkknArxA(已经用到了等差级数的求和公式),因此,总利息为0(1)2nAr,即,181550000.006375/2=31731.56元.(对于公积金贷款可以类似地算得总利息34209,所以两类贷款的总利息为34209+31731.56=65940.56.从而两种贷款的总还款差为76582.8-65940.56=10642.24元,很接近10628,1元.)而且,我们还可以知道还款额是逐月下降的,减少的款额是一常数,因为01kkArxxn现在0180,55000,0.006375nAr,所以1550000.0063751.75180kkxx元.3.市建行的“等本、等息、等额还款”是为了方便百姓,把2中的还款总额001(1)2nkknArxA平均分摊到每个月就得到等额还款0011(1)2nkkAnArxnnn,也就是把利息平均分摊到每个月,再加上月均还本,约为306.56+176.29=481.85.4.如果只从还款总额来比较的话,显然去市建行贷款合算.习题在离散的贷款模型中,若0,,ArN已知,则月等额还款为0(1)(1)1NNArrxr,在连续的贷款模型中,若0,,ArN已知,则月等额还款为01rNcrNArexe;证明cxx.在离散的贷款模型中,若,,xrN已知,则初始借款为0[(1)1](1)NNxrArr,在连续的贷款模型中,若,,xrN已知,则初始借款为0[1]rNcrNxeAre;证明00AAc.参考解答:只要利用NrNre)1(和函数vvvv1,1的单调性。
本文标题:北京交通大学数学建模习题参考解答
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2621758 .html