向量基础知识

向量基础知识：1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.2.向量的数量积的运算律：(1)a·b=b·a（交换律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，．4.向量平行的坐标表示设11(,)axy,22(,)bxy，且0b，则ab(b0)12210xyxy.5.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．7.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.(2)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.(3)设A11(,)xy，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxxyy.（由箭头指向的数减去开始的数）(4)设a=(,),xyR，则a=(,)xy.(5)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a·b=1212()xxyy.8.两向量的夹角公式121222221122cosxxyyxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy).{即：cosθ=a·b/|a||b|}9.平面两点间的距离公式(A11(,)xy，B22(,)xy).,ABd=||ABABAB222121()()xxyy10.向量的平行与垂直设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则a//bb=λa12210xyxy.ab(a0)a·b=012120xxyy.补充:三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OAOBOC.（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.例题：对话一：【2010年江苏卷15】．在平面直角坐标系xOy中，点A(―1，―2)，B(2，3)，C(―2，―1)．（Ⅰ）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（Ⅱ）设实数t满足（AB―tOC）·OC=0，求t的值解:（1）由题设知(3,5),(1,1)ABAC，则(2,6),(4,4).ABACABAC所以||210,||42.ABACABAC故所求的两条对角线的长分别为42、210。（2）由题设知：OC=(－2,－1)，(32,5)ABtOCtt。由（AB―tOC）·OC=0，得：(32,5)(2,1)0tt，从而511,t所以115t。或者：2·ABOCtOC，(3,5),AB2115||ABOCtOC对话二：已知向量)sin1,sin1(xxa，)2cos,2(xb.（1）若]2,0(x，试判断a与b能否平行（2）若]3,0(x，求函数baxf)(的最小值.解：（1）若a与b平行，则有2sin12cossin1xxx，因为]2,0(x，0sinx，所以得22cosx，这与1|2cos|x相矛盾，故a与b不能平行.（2）由于baxf)(xxxxxxxxxsin1sin2sinsin21sin2cos2sin2cossin22，又因为]3,0(x，所以]23,0(sinx，于是22sin1sin22sin1sin2xxxx，当xxsin1sin2，即22sinx时取等号.故函数)(xf的最小值等于22.网对话四：．已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(21,23).高考资源网(1)若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；高考资源网(2)根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间高考资源网解：（1）法一：由题意知x＝(23322t,223232t),y＝(21t－3k，23t＋k)，又x⊥y高考资源网故x·y＝23322t×（21t－3k）＋223232t×(23t＋k)＝0整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝41t3－43t.高考资源网法二：∵a＝(3，－1)，b＝(21,23),∴.a＝2，b＝1且a⊥b∵x⊥y，∴x·y＝0，即－ka2＋t(t2－3)b2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝41t3－43t(2)由(1)知：k＝f(t)＝41t3－43t∴kˊ＝fˊ(t)＝43t3－43,令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.高考资源网故k＝f(t)的单调递减区间是(－1,1)，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）⑴.已知ABC中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求AD=（3）已知非零向量,,ba若,1ba且,ba又知),4()32(bkaba则实数k的值为（5）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，则|a―b|=．（6）已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a⊥（a―2b），则|2a+b|的值是．（7）若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，则a与b的夹角=11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为73tan,,,Ccba．（1）求cosC；高考资源网（2）若25CACB，且a+b=9，求c．高考解：（1）sintan3737cosCCC，高考资源网又22sincos1CC解得1cos8C．tan0C，C是锐角．1cos8C．高考资源网（2）由52CBCA，5cos2abC，20ab．又9ab22281aabb．2241ab．高考资源网2222cos36cababC．6c．