含“金”量很高的两道中考试题

含“金”量很高的两道中考试题河北周建杰规律探索型试题，对探索研究、猜想归纳能力有较高的要求．并且此类题目类型比较繁多，需要根据所给的信息，或应用“数形结合”思想，或观察“整体”与“部分”的关系等等，找到一条有效的解题途径．下面，仅以此两例供大家思考探索，略窥其端倪．例1．（2006年东营市）如图1，已知△ABC的面积S△ABC=1.在图1（1）中，若21111CACCBCBBABAA,则41S111CBA△;在图1（2）中，若31222CACCBCBBABAA,则31S222CBA△;在图1（3）中，若41333CACCBCBBABAA,则167S333CBA△;按此规律，若91888CACCBCBBABAA,则888CBA△S．解析：由题目条件，及根据“等底等高的三角形面积相等”得：在图（1）中，线段A1B1、B1C1、C1A1把△ABC分成四个面积相等的小三角形，△A1B1C1的面积可看作：大三角形的面积减去三个小三角形的面积和；即：1111134ABCS．在图（2）中，和三边分别平行的线段，把△ABC分成九个面积相等的小三角形，△A2B2C2的面积可看作：大三角形△ABC的面积减去△AC2A2、△BA2B2、△CB2C2面积和；并且△AC2A2、△BA2B2、△CB2C2面积都是29；即：2222139ABCS．在图（3）中，和三边分别平行的线段，把△ABC分成十六个面积相等的小三角形，△A3B3C3的面积可看作：大三角形△ABC的面积减去△AC3A3、△BA3B3、△CB3C3面积和；并且△AC3A3、△BA3B3、△CB3C3面积都是316；即：33331316ABCS．……按此规律，若11nnnAABBCCABBCCAn,则ABC2S13(1)nnnnn．当n=8时，888ABC2819S13.(81)27评注：这个题目借助图形，应用“整体”减“部分”的思想观察所求给的条件，从这个“部分”入手找规律，使问题迎刃而解．B（1）ACA1B1C1ABCA2B2C2（2）A3ABCB3C3（3）图1ABCDE图2－2DEABCF图2－3例2．（2006年河北省）探索在如图2－1至图2－3中，△ABC的面积为a．（1）如图2－1,延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；（2）如图2－2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2－2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图12－3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．发现像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图2－3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．应用要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图2—4）已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．解析：探索（1），△ACD和△ABC“等底同高”，则△ACD的面积等于△ABC的的面积，即答案填a；（2）如图2－2中，连结AD，由CD=BC，AE=CA，得S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，所以△DEC的面积为S2=2a；（3）由CD=BC，AE=CA，BF=AB；再由（2）中结论，得S△BCD=S△FAE=S△DBF=2a；所以S3=6a；发现扩展一次后得到的△DEF的面积是S3+S△ABC=6a+a=7a；所以答案是7；应用（1）由发现中的规律：第二次扩展后所得三角形（图2—4中种红花、黄花、紫花的所有面积）是△DEF的面积的72倍，则种紫花的区域的面积是种红花的区域面积的（72-7）倍；即：种紫花的区域的面积是（72-7）×10=420m2；图2－1ABCD图2—4紫ABC紫紫紫红黄黄黄（2）同理种蓝花的区域的面积：（73-72）×10=2940m2．评注：本题是在逐步探索结论的前提下，体验经历图形的扩展；在图形面积发生变化的过程中，经猜想获得结论，并通过计算获得验证．经过“探索—发现—应用”使问题解决．针对性练习：1．（2006年河南省）要拼出和图1中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为___________．8cm6cm答案：121．2．（2006成都）如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积1S为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23SS，，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积8S＝_______．答案：128．3．（2006常州）（本小题满分6分）将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）；第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形在分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形在分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；按上述分割方法进行下去……（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：分割次数（n）123……正六边形的面积S（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数a有何关系？（S用含a和n的代数式表示，不需要写出推理过程）．3．答案：解：（1）如图：（2）分割次数（n）123……正六边形得面积S4a16a64a……（3）naS4图1图2第13题ABCDEFGHIJ4．（05年河北省）操作示例对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图11－1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11－1中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED．实践与探究（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图11－2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N．①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图11－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图11－1，用数字表示对应的图形）．（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．4．答案：解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．在Rt△ADM与Rt△CDE中，∵AD＝CD，又∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC＝90°，∴DM＝DE，∴四边形MNED是正方形．∵22222DECDCEab，∴正方形MNED的面积为22ab；②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图2可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等．所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．（2）答：能．理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，……依此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n－1）次拼接，得到一个正方形．ADFGC（H）ENBM图11－2图11－1ADFGC（H）ENBM图2P162534