含有参数的不等式恒成立问题的处理策略初探(08.11.8)

含有参数的不等式恒成立问题的处理策略初探株洲市南方中学412002刘亚利E-mail：[e-mail][e-mail]：346844311Tel:[phone]含有参数的不等式恒成立问题是近几年高考中的热点问题,是全面考察数学基本思想、基本方法和基本能力的一类重要题型。这类问题与数学其它方面的知识联系紧密，综合性强，题型多变，方法灵活。在一个不等式中至少含有两个变元，其中一些是已知范围的变元，一些需要求解的未知变元，“含有参数的不等式恒成立问题”是指“已知变元在其范围内变化时不等式（组）恒成立，求解未知变元的取值范围的问题”。求解这类问题的思路是将复杂问题转化为简单问题，常见策略是转化策略。把问题A通过一定的手段进行转化，归结为问题B，而问题B是相对容易解决的问题或已有固定的解决程式的问题，且通过B的解决，能够得到A的解决。常见的转化策略有如下三种：一.运用“同构”思想：转化为与之对应的函数，利用函数的图像、性质求解【例1】：（2008年青岛模拟）已知函数f（x）=x2+ax+3，当x∈[－2，2]时，f（x）≥a恒成立，则a的取值范围。【解析】：当x∈[－2，2]时，x2+ax+3－a≥0恒成立。设g（x）=x2+ax+3－a分如下三种情况讨论（如图所示）：如图（1）如图（2）如图（3）161412108642-2-4-6-8-10-12-15-10-55101520yxo-22y161412108642-2-4-6-8-10-12-15-10-55101520xo-22161412108642-2-4-6-8-10-12-15-10-55101520oyx-22①如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方，满足条件时，有△=a2－4（3－a）≤0，即－6≤a≤2。②如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，△≥0但在x∈[－２，＋∞）时，g（x）≥0，即x=－2a＜－２a∈g（－２）≥0③如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，△≥0但在x∈[－２，＋∞）时，g（x）≥0，即x=－2a＞－２a∈[－7，2]g（－２）≥0∴a的取值范围为a∈[－7，2]。不等式和函数是两个不同的代数结构，两个代数结构是一一对应的，一一对应的两个代数结构是同构的。因此含有参数的不等式f(x)＞（≥）或＜（≥）0对x∈D恒成立，可以转化为函数y=f（x）的图像在x∈D上恒在x轴的上（下）方，然后通过图像的位置关系寻找参数满足的充要条件，再求参数的取值范围。二.运用变量思想：分离参数，转化为函数最值问题【例2】：若不等式组at2－t+a≥0对t∈(0，2)恒成立，则a的取值范围是。at2－2t－1≤0【解析】：∵t∈(0，2)∴可将不等式组变形为：a≥12tta≤212tt∴a≥12tt且a≤212tt对t∈(0，2)恒成立，∴当t∈(0，2)时a≥（12tt）max且a≤（212tt）min∴a∈[21，45]将已知变元和未知变元分离开后，根据已知变元的取值范围可先求出含已知变元的函数的最大值和最小值，然后求出未知变元的取值范围。即f(x)≥a对x∈D上恒成立[f(x)]min≥a（x∈D）；f(x)≤a对x∈D上恒成立[f(x)]max≤a（x∈D）。三.运用数形结合思想：转化为函数图象的位置关系，用运动变化的思想求解【例3】：已知a＞0且a≠1，函数f（x）=x2－ax，当x∈（－1，1）时，恒有f（x）＜21成立，求实数a的取值范围。【解析】：设函数g（x）=x2，h（x）=ax+21，则当x∈（－1，1）时，不等式f（x）＜21等价转化为g（x）＜h（x）。在同一坐标系内作出函数g（x）、h（x）的图象，如图，当a＞1时，121,121,10;211211aaaaa得时当得∴a∈[21，1）∪（1，2]含有式子x2和ax的不等式的问题的处理方法，不同于一般的整式不等式、分式不等式和一些单纯的指数对数不等式的处理方法，需要对含有x2的一元二次的式子和含有ax的式子分别对待，利用其图象的位置关系和函数性质来处理，要注意“数形结合”数学思想的运用。通过找适当的映射实现转化（化归），被著名数学方法论专家徐利治称为关系映射反演原则，简称RMI原则。我们在解决“含有参数的不等式恒成立”问题时，选择的解题策略有多种，上面三种不同的转化策略是“RMI原则”的具体表现形式，我们要灵活运用。比如：【例4】：已知x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，是否存在实数m，使得不等式tm－lnt+3≥|x1-x2|对任意a∈[-1,1]及t∈(0，+∞）恒成立？若存在，求m的取值范围，若不存在，请说明理由。【解析】：假设存在实数m，使得使得不等式tm－lnt+3≥|x1-x2|对任意a∈[-1,1]及t∈(0，+∞）恒成立。由“x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根”可得：x1+x2=a且x1x2=－2∴|x1-x2|=212214)(xxxx=82a，当a∈[-1,1]时，|x1-x2|≤3∴“不等式tm－lnt+3≥|x1-x2|对任意a∈[-1,1]及t∈(0，+∞）恒成立”等价于“不等式tm－lnt+3≥3对任意t∈(0，+∞）恒成立”∴不等式m≥ttln对任意t∈(0，+∞）恒成立∴当t∈(0，+∞）时，m≥（ttln）max令f（t）=ttln（t∈(0，+∞））∴f/（t）=2ln1tt∴当t∈(0，e）时，f/（t）＞0；当t∈[e，+∞）时，f/（t）＜0∴f（t）在t∈(0，e）单调递增，在t∈[e，+∞）上单调递减ax+21∴当t=e时，f（t）max=f（e）=e1∴m≥e1∴存在实数m∈[e1，+∞），使得使得不等式tm－lnt+3≥|x1-x2|对任意a∈[-1,1]及t∈(0，+∞）恒成立【变式】：已知x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，是否存在实数m，使得不等式m2－tm+1≥|x1-x2|对任意a∈[-1,1]及t∈[-1,1]恒成立？若存在，求m的取值范围，若不存在，请说明理由。【解析】：由例4可等价转化为“m2－tm－2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立”设g（t）=－mt+m2－2（t∈[-1,1]）∴g（－1）≥0g（1）≥0∴m≥2或m≤－2∴存在实数m∈（－∞，－2]∪[2，+∞），使得使得不等式m2－tm+1≥|x1-x2|对任意a∈[-1,1]及t∈[-1,1]恒成立点评：【例4】中“不等式tm－lnt≥0”是一个较复杂的不等式，如转化为与之对应的函数，利用函数的图像、性质求解，比较困难，但将问题转化为“不等式m≥ttln对任意t∈(0，+∞）恒成立”，运用变量思想，分离两个变量（参数），等价于m≥（ttln）max，然后只要“求函数f（t）=ttln最大值”即可，思路豁然开朗，化难为易，能迅速求解，是在运用“RMI原则”过程中灵活选择转化手段的一个典型例题；【变式】中转换主元比用二次函数知识求解来得简洁，构造自变量为t的一次函数g（t）=－mt+m2－2，灵活地运用了变量思想和同构思想，解题过程简单快捷，但对思维要求较高，要深刻理解多个变元之间的关系。参考文献：1.李明振.数学方法与解题研究.上海科技教育出版社.2003年5月2.布鲁纳.教育过程.上海人民出版社.2005年3月3.崔录等.现代教育思想精粹.光明日报出版社.2006年1月4.徐利治.数学方法论选讲.华中理工大学出版社.1989年2月(第三版)5.谭光宙、丁家泰、赵素兰.中学数学解题方法（代数部分）.北京师范大学出版社.1986年12月3.“不等式xm－lnx≥0对任意x∈(0，+∞）恒成立”，求m的取值范围