启新教育三年级奥数第十七讲数阵图二

启新教育三年级奥数第十七讲数阵图二上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。分析：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为21×2-(1+2+…+8)=6。在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有上图的填法。如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上图的填法。例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。分析：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于11×3-(1+2+…+6)=12。1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是1～6，不合题意。同理，三个重叠数也不能是3，4，5。经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。例3将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。分析：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3=(21+重叠数之和)÷3=7+重叠数之和÷3。因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。与例2的方法类似，可得下图的四种填法：三数之和=9三数之和=10三数之和=11三数之和=12例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。分析：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于18×4-(2+3+…+9)=28。而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到右上图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。以上例题都是封闭型数阵图。一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。分析与解：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，即a+a+b+c+d=11。因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。练习1.把1～8填入下图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。2.把1～6这六个数填入下图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。3.将1～8填入下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。启新教育奥数天天练填数游戏爱因斯坦是举世文明的大科学家，以发明物理学上的相对论著称。他在成名后，仍继续为德国的《法兰克福报》写稿，给读者提出一些数学问题。下面是爱因斯坦做过的一道题目：如下图所示的几个圆的圆心是4个小的等腰三角形和3个大的等腰三角形的顶点，把数字1～9填入圆圈内，使这7个三角形中每个三角形顶点的数字之和都相等。这个问题就是我们所说的填数游戏，也就是数阵问题。要想解决大科学家做过的问题，我们得学习数阵方面的一些基础知识。例题与方法例1：把数字1，3，4，5，6分别填在右图中三角形3条边上的5个○内，使每条边上3个○内数和和等于9。例2：将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16。:例3：有8张卡片，写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，请你重新按下右图进行排列，使每边3张卡片上的数的和等于13。例4：在右图中各圆空余部分填上1，2，4，6，使每个圆中的4个数的和都是15。例5：将数字1～5分别填在下图中的○内，使每条线段上3个○内的数字之和相等。例6：将数字1～8分别填入下图中的□内，使每一横行、每一竖相邻3个□内的数字和相等。练习与思考1．把数字1～9填入下图中，要求每行、每列和每条对角线上3个数的和都等于15。2．在上图中，只能用图中已有的3个数填满其余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行每列及每条对角线上的3个数字之和都相等。3．把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数之和都等于21。4．把数字1，2，3，4填入上图中的小圆圈内，使每条线上3个数的和与每个圆圈上3个数的和都等于12。5．将数字1～8填入图中，使横行□中的数字和等于竖行□中的数之和。6．将数字2～9分别填在例1的右上图中的○内，使每条线上五个○内数的和相等。1212345678357375468答案与提示练习17每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13每个圆周的四数之和=14每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=163.提示：四个顶点数之和为15×4－(1＋2＋…＋8)=24，四个顶点数有3，6，7，8和4，5，7，8两种可能。经试验只有左下图一个解。4.提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于(1＋2＋…＋8)÷7＝18。填法见右上图。(填法不唯一)5.提示：顶上的数重叠2次，其它数都重叠1次。(1＋2＋…＋7)×2＋顶上数=每条线上的和×5，56＋顶上数=每条线上的和×5。由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上数”=4。所以每条线上的三个数之和为(56＋4)÷5＝12。经试验填法如上图。(填法不唯一)6.与例5类似(见上图)。