北京市朝阳区2016届高三第二学期第二次综合练习数学理

·1·开始输出S的值2,1kS5?k1kkSSk结束是否北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）2016．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合124xAx，10Bxx，则ABI＝A．12xxB．01xxC．01xxD．12xx2．复数i1iz（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为A．6B．10C．14D．154．已知非零向量a，b，“a∥b”是“a∥()ab”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是；②图象关于直线3x对称；③在区间5,6上是单调递增函数”的一个函数可以是A．cos()26xyB．sin(2)6yxC．cos(2)3yxD．sin(2)6yx·2·6．已知函数1,2,()2log,2axxfxxx(0a且1)a的最大值为1,则a的取值范围是A．112[,)B．01(,)C．102(,]D．1(,)7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是A．48B．72C．84D．1688．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E是棱11DC的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，且EF∥平面11ABC，则动点F的轨迹所形成的区域面积是A．92B．23C．33D．42第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线22:13xCy的渐近线方程是；若抛物线22(0)ypxp的焦点与双曲线C的一个焦点重合，则p．10．如图，P为⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于,BC两点，且3PCPA，D为线段BC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若1PB，则PA的长为______；ADDE的值是．11．已知等边ABC的边长为3，D是BC边上一点，若1BD，则ACADuuuruuur的值是______．ECODBAP·3·12．已知关于,xy的不等式组0,,2,2xyxxyxyk所表示的平面区域D为三角形区域，则实数k的取值范围是．13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设()fn表示前n年的纯利润（()fn=前n年的总收入－前n年的总费用支出－投资额），则()fn（用n表示）；从第年开始盈利.14．在平面直角坐标系Oxy中，以点A(2,0)，曲线21yx上的动点B，第一象限内的点C，构成等腰直角三角形ABC,且90A，则线段OC长的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知1cos23A，3,sin6sincAC．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若角A为锐角，求b的值及ABC的面积．16．（本小题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为(010)，，五个级别规定如下：交通指数(0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)级别畅通基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示．（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50频率组距交通指数值0.250.100.050.1502468100.2013579·4·分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间X的数学期望．17．（本小题满分14分）如图1，在等腰梯形ABCD中，//BCAD，122BCAD，60A，E为AD中点，点,OF分别为,BEDE的中点．将ABE沿BE折起到1ABE的位置，使得平面1ABE平面BCDE（如图2）．（Ⅰ）求证：1AOCE；（Ⅱ）求直线1AB与平面1ACE所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱1AC上是否存在点P，使得//BP平面1AOF?若存在，求出11APAC的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数21()(1)1)ln2fxxaxax（，aR．（Ⅰ）当3a时，求曲线:()Cyfx在点(1,(1))f处的切线方程；ECDBA图1BFOCDA1E图2·5·（Ⅱ）当1,2x时，若曲线:()Cyfx上的点(,)xy都在不等式组12,,32xxyyx所表示的平面区域内，试求a的取值范围．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系Oxy中，点000(,)(0)Pxyy在椭圆:C2212xy上，过点P的直线l的方程为0012xxyy．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若直线l与x轴、y轴分别相交于,AB两点，试求OAB面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C的左、右焦点分别为1F，2F，点Q与点1F关于直线l对称，求证：点2,,QPF三点共线．20．（本小题满分13分）已知集合311,(22nSkkknN，且)nN．若存在非空集合12,,,nSSS，使得12nSSSS，且(1,,)ijSSijnij，并,(1,2,,),ixySinxy，都有ixyS，则称集合S具有性质P，iS（1,2,,in）称为集合S的P子集．（Ⅰ）当2n时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集S1,S2；（Ⅱ）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设{3|}nTssT，求证：,xyTT，xy，都有xyTT；·6·（Ⅲ）求证：对任意正整数2n，集合S具有性质P．数学答案（理工类）2016．5一、选择题：（满分40分）题号12345678答案ABBCDADC二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案33yx，43，166(,2][0,1)21960nn,5221（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)因为21cos212sin3AA，且0A，所以6sin3A．因为3,sin6sincAC，由正弦定理sinsinacAC，得66332ac．…………………6分(Ⅱ)由6sin,032AA得3cos3A．由余弦定理2222cosabcbcA，得22150bb．解得5b或3b（舍负）．·7·所以152sin22ABCSbcA．…………………13分解:（Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为260×0.25=65天.……………………………………………………5分（Ⅱ）由题意可知X的可能取值为30,35,40,50,70．且(30)0.05PX；(35)0.10PX；(40)0.45PX；(50)0.25PX；(70)0.15PX；所以300.05+350.1+400.45+500.25+700.15=46EX．…………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD中，由//BCAD，122BCAD，60A，E为AD中点，所以ABE为等边三角形．如图2,因为O为BE的中点，所以1AOBE．又因为平面1ABE平面BCDE，且平面1ABE平面BCDEBE，所以1AO平面BCDE，所以1AOCE．………4分（Ⅱ）连结OC，由已知得CBCE，又O为BE的中点，图2所以OCBE．由（Ⅰ）知1AO平面BCDE，所以11,AOBEAOOC，ECDBA图1A1xzyzzzXFOBCDEPCBFODA1E·8·所以1,,OAOBOC两两垂直．以O为原点，1,,OBOCOA分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系（如图）．因为2BC，易知13OAOC．所以1(003),(100),(030),(100)ABCE，，，，，，，，，所以111(103),(033),(103)ABACAE，，，，，，．设平面1ACE的一个法向量为(,,)xyzn，由110,0ACAEnn得330,30.yzxz即0,30.yzxz取1z，得(3,1,1)n．设直线1AB与平面1ACE所成角为，则133315sincos,5255ABn．所以直线1AB与平面1ACE所成角的正弦值为155．…………………9分（Ⅲ）假设在侧棱1AC上存在点P，使得//BP平面1AOF．设11APAC，[0,1]．因为1111BPBAAPBAAC，所以(103)(033)(1,3,33)BP，，，，．易证四边形BCDE为菱形，且CEBD，又由（Ⅰ）可知，1AOCE，所以CE平面1AOF．所以(1,3,0)CE为平面1AOF的一个法向量．由(1,3,33)(1,3,0)130BPCE，得1[0,1]3．·9·所以侧棱1AC上存在点P，使得//BP平面1AOF，且1113APAC．…………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3a时,21()42ln2fxxxx，0x．2()4fxxx．则(1)1421f，而17(1)422f．所以曲线C在点(1,(1)f)处的切线方程为712yx，即2250xy．…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）依题意当1,2x时，曲线C上的点,xy都在不等式组12,,32xxyyx所表示的平面区域内，等价于当12x时，3()2xfxx恒成立．设()()gxfxx211)ln2xaxax（，1,2x．所以21(1)()=+=axaxagxxa+xx(1)(1))=xxax．（1）当11a，即2a时，当1,2x时，()0gx，()gx为单调减函数，所以(2)()(1)ggxg．依题意应有131,222221ln20,()()()gagaa解得21aa,.所以12a．·10·（2）若112a，即23a时，当1,1xa，()0gx，()gx为单调增函数，当x1,2a，()0gx，()gx为单调减函数．由于3(1)2g，所以不合题意．（3）当12a，即3a时，注意到15(1)22ga，显然不合题意．综上所述，12a．…………………………………