北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学文科试题及参考答案

高三数学（文科）第1页（共10页）石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高三数学（文）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合5,2A，集合2,1B,集合7,5,2,1C，则CBA为（）A.5,2,1B.5,2C.7,5,2D.7,5,2,12．若变量yx,满足约束条件2,1,0xyxy,则yxz2的最大值为（）A．0B．2C．3D．43．若函数()yfx的定义域为|22xxM,值域为|02Nyy,则函数()yfx的图象可能是（）-2-22-22-224．“2a”是“直线210xay+-=与直线220axy+-=平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件学科网C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件yyyyxxxxooo2222ABCD高三数学（文科）第2页（共10页）5．右面的程序框图表示算法的运行结果是()A.2B.2C.1D.1网6．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线xy对称，则圆C的标准方程为()A.22(1)1xyB.22(1)1xyC.22(1)1xyD.22(1)1xy7．已知()1fxx，若()1fxax在xR上恒成立,则实数a的取值范围是（）A.1,0B.,11,C.1,1D.,10,8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法.现有如下图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B.8C.10D.12开始输出结束否i是偶数是是否SSi1iiSSi0,1Si高三数学（文科）第3页（共10页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数(1)ii的实部为_____________.10.已知向量3,4a，mb,1，若()0aab，则m___________.11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a=___________；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________.12.在△ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc.15a，10b，60A，则sinB_____________.13.三棱锥SABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为___________.14.股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多.（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为________元，能够成交的股数为___________.卖家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数200400500100买家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数600300300100克频率/组距0.075a0.100.150.059698100102104106CBAS42322正（主）视图左（侧）视图高三数学（文科）第4页（共10页）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知na是公差不为零的等差数列，11a，且931,,aaa成等比数列.（Ⅰ）求数列na的通项；（Ⅱ）求数列na2的前n项和nS．16．（本小题共13分）已知函数Rxxxxxf,sin2cossin32)(2.（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数)(xf在[0,]4上的最大值与最小值．17．（本小题共13分）编号为1216,,,AAA的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号1A2A3A4A5A6A7A8A得分1535212825361834运动员编号9A10A11A12A13A14A15A16A得分1726253322123138（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间10,2020,3030,40人数（Ⅱ）从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．高三数学（文科）第5页（共10页）18．（本小题共14分）如图，已知三棱柱111CBAABC中，1AA⊥底面ABC，2BCAC，41AA，22AB，NM,分别是棱1CC，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面11AABB；（Ⅱ）求证：CN∥平面1AMB；（Ⅲ）求三棱锥AMNB1的体积．19．（本小题共13分）已知椭圆C：)0(12222babyax，其中21e（e为椭圆离心率），焦距为2，过点)0,4(M的直线l与椭圆C交于点BA,，点B在AM之间．又点BA,的中点横坐标为74．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．20.（本小题共14分）已知函数mxxgxmxxf31)(,2131)(23,Rm.（Ⅰ）若)(xf在1x处取得极小值,求m的值；（Ⅱ）若)(xf在区间,2为增函数,求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数)()()(xgxfxh有三个零点,求m的取值范围．高三数学（文科）第6页（共10页）石景山区2015—2016学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案ADBABCCB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(14题第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解（Ⅰ）由题设知公差0d，………………2分由11391,,,aaaa成等比数列得1218112ddd，………………4分解得1,0dd（舍去），………………5分故na的通项1(1)1nann.………………7分(Ⅱ)由（Ⅰ）知22man，由等比数列前n项和公式得………………9分2312(12)22222212nnnnS.………………13分16．（本小题共13分）解：()3sin2cos21fxxx312(sin2cos2)122xxπ2sin(2)16x.………………2分题号91011121314答案170.125，12033422.2,600高三数学（文科）第7页（共10页）（Ⅰ）()fx的最小正周期为2ππ.2T………………4分令222,262kxkkZ，解得36kxk，所以函数()fx的单调增区间为[,],36kkkZ.………………7分（Ⅱ）因为04x，所以22663x，所以1sin(2x)126，于是12sin(2)26x，所以0()1fx.………………9分当且仅当0x时，()fx取最小值min()(0)0fxf.………………11分当且仅当262x，即6x时最大值max()()16fxf.………13分17．（本小题共13分）（Ⅰ）解：4，6，6………3分（Ⅱ）解（i）：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.AAAAAA从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531031131345{,},{,},{,},{,},{,},{,},AAAAAAAAAAAA410{,}AA，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}AAAAAAAAAAAAAAAA，共15种.………8分（Ⅲ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}AAAAAAAAAA，共5种.………11分所以51().153PB………13分高三数学（文科）第8页（共10页）18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABCABC中，1AA底面ABC，又因为CN平面ABC，所以1AACN.………1分因为2ACBC，N是AB中点，所以CNAB.………3分因为1AAABA，………4分所以CN平面11ABBA.………5分（Ⅱ）证明：取1AB的中点G，连结MG，NG，因为N，G分别是棱AB，1AB中点，所以NG∥1BB，112NGBB.………6分又因为CM∥1BB，112CMBB，所以CM∥NG，CM＝NG.所以四边形CNGM是平行四边形．所以CN∥MG.………8分因为CN平面1AMB，MG平面1AMB，………9分所以CN∥平面1AMB.………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知MG平面1ABN.所以11114242323BAMNMABNVV………14分19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由条件可知，1,2ca，故2223bac，………3分椭圆的标准方程是22143xy．………4分（Ⅱ）由已知,,ABM三点共线，设点11(,)Axy，点22(,)Bxy．高三数学（文科）第9页（共10页）若直线ABx轴，则124xx，不合题意．………5分当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为(4)ykx．…6分由22(4)3412ykxxy消去y得，2222(34)3264120kxkxk．①………8分由①的判别式△=42223224(43)(6412)144(14)0kkkk，…9分解得214k，………10分21223243kxxk,2122641243kxxk.………11分由21221642437xxkk，可得218k，即有24k.………12分即所求直线方程为2(4)4yx.………13分20．（本小题共14分）解:（Ⅰ）2()(1)fxxmx………1分由()fx在1x处取得极大值,得(1)1(1)0fm,………3分所以0m(经检验适合题意)………4分（Ⅱ）2()(1)fxxmx,因为()fx在区间(2,)为增函数,所以2(1)(1)0xmxxxm在区间(2,)恒成立,………5分所以(1)0xxm恒成立,即1mx恒成立,由于2x,得1m.所以m的取值范围是1m.………8分高三数学（文科）第10页（共10页）（Ⅲ）32111()()()323mhxfxgxxxmx,故2()(1)(1)()0hxxmxmxxm,得xm或1x当1m时,2()(1)0hxx,()hx在R上是增函数,显然不合题意.……9分当1m时,(),()fxfx随x的变化情况如下表:xm(,1)m1(1,)()hx+00+()hx↗极大值32111623mm↘极小值12m↗………10分要使()()fxgx有三个零点,故需321110623102mmm,………12分即2(1)(22)01mmmm,解得31m所