北京市通州区2016届高三一模数学理科试题

1第4题图第2题图通州区2016年高三年级模拟考试（一）数学（理）试卷2016年4月本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数i1i在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．右面的程序框图输出S的值为A．16B．32C．64D．1283．若非空集合,,ABC满足ABC，且A不是B的子集，则“xC”是“xA”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．24B．20+42C．28D．24+425．已知na是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,aaa成等比数列，则na的前9项和等于A．26B．30C．36D．40否是k≤4开始k=1，S=1S=S·2kk=2k输出S结束2第14题图CDEBOA第11题图6．若不等式组3403400xyxyx所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是A．37B．73C．34D.437．已知点3,0A，点P在抛物线24yx上，过点P的直线与直线1x垂直相交于点B，||||PBPA，则cosAPB的值为A．12B．13C．12D．138．若定义域均为D的三个函数fx，gx，hx满足条件：xD，点,xgx与点,xhx都关于点,xfx对称，则称hx是gx关于fx的“对称函数”．已知21gxx，3fxxb，hx是gx关于fx的“对称函数”，且hxgx恒成立，则实数b的取值范围是A．10，B．1010，C．310，D．10，第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．261()xx的展开式中含3x项的系数为______．（用数字作答）10．在△ABC中，60A，1AC，△ABC的面积为3，则BC的长为．11．如图，圆O的直径4AB，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若30ABC，则AD的长为______.12．若a,b,c是单位向量，且0ab，则acbc的最大值为．13．已知函数2()logfxx.若0ba＜＜,且()()fafb,则2ab的取值范围是．14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．……………………………第1行…………………第2行…………………………第3行……………………………3第17题图HBACDFE我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为，第n(n∈N*)行中白圈与黑圈的“坐标”为________．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（本小题13分）已知函数()cossincosfxxxx．(Ⅰ)求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）当,44x时，求函数)(xf的最大值和最小值．16．（本小题13分）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在[8:00，23:00]内每个整点．．时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t1，t2，t3，…，t16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3的概率．17．（本小题14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EFEA，22ABEF，90AED，AEED，H为AD的中点．（Ⅰ）求证：EH∥平面FBD；（Ⅱ）求证：EH平面ABCD；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角--BFDP的大小为3？若存在求出BP的长，若不存在请说明理由.第16题图甲乙418．（本小题13分）已知函数21()()axfxxxea(a≠0)．（Ⅰ）当12a时，求函数fx的零点；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）当0a时，若02)(axf对Rx恒成立，求a的取值范围．19．（本小题14分）已知椭圆M:2222xy.（Ⅰ）求椭圆M的离心率；（Ⅱ）设O为坐标原点，,,ABC为椭圆M上的三个动点，若四边形OABC为平行四边形，判断ABC的面积是否为定值，并说明理由．20．（本小题13分）已知数列na满足11a，1nnnaap，其中Nn,p是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若na是递增数列，则na不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若na是递减的等比数列，则na中的每一项都大于其后任意Nmm个项的和；（Ⅲ）若2p，且21na是递增数列，2na是递减数列，求数列na的通项公式．5通州区2016年高三年级模拟考试(一)理科数学参考答案2016年4月一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）12345678ADABCBDD二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9.20；10.13；11.1；12.12；13.3，；14.1314，,-1-1313+122nn-（，）．三、解答题（共6个小题，共80分）15.解：（Ⅰ）因为()cossincosfxxxx11sin2cos2122xx…………………………4分21sin2242x．…………………………………6分所以函数)(xf的最小正周期22T．………………………7分（Ⅱ）当,44x时，32,444x，………………8分所以当244x，即4x时，函数)(xf取得最大值0，………10分当242x，即8x时，函数)(xf取得最小值2122．…………12分所以fx在,44上的最大值和最小值分别为0和2122．…13分16.解：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．……………………3分（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差．………7分（Ⅲ）由图可得下表：整点800:900:1000:1100:1200:1300:1400:1500:6时刻最高气温101112131313132123最低气温46810210311131210温差65431232131223整点时刻1600:1700:1800:1900:2000:2100:2200:2300:最高气温1123121086543最低气温865432231232温差14365431232131……………10分由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：（800:，900:），（900:，1000:），（1000:，1100:），（1100:，1200:），（1200:，1300:），（1300:，1400:），（1400:，1500:），（1500:，1600:），（1600:，1700:），（1700:，1800:），（1800:，1900:），（1900:，2000:），（2000:，2100:），（2100:，2200:），（2200:，2300:）．其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于3”的事件（记为A）共有3个：（1100:，1200:），（1500:，1600:），（2000:，2100:）．所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3的概率31()155PA．……………………13分17.（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，连结HO，FO．因为四边形ABCD为正方形，所以O是BD的中点，又H是AD中点，所以//OHAB，12OHAB．而//EFAB，12EFAB，所以//EFOH且EFOH，所以四边形EHOF为平行四边形，所以//EHFO，OEFDCABH7又因为FO平面FBD，EH平面FBD，所以//EH平面FBD．……………………………5分（Ⅱ）证明：因为AEED，H是AD的中点，所以EHAD．因为//ABEF，EFEA，所以ABEA．因为ABAD，所以AB平面AED，因为EH平面AED，所以ABEH，所以EH平面ABCD．9分（Ⅲ）解：HE，AD，OH两两垂直，如图．建立空间直角坐标系H－xyz．则()100A，，，0()10D，，，()011F，，()010O，，，0()12C，，设点20()02Pmm，，，于是有1,1,1DF，,1,1FPm．设平面PDF的法向量,,xyzn，则00nnDFFP，，即00xyzmxyz，．令1z，得21xm，11mym．所以21,,111nmmm．平面BDF的法向量1,1,0OA．所以cos3nnOAOA，即2221110,,11112212111mmmmmm，，．所以1m．PxyzOEFDCABH8所以点P的坐标为()120，，，与点C的坐标相同．所以2BPBC．……………………14分18.解：(Ⅰ)令0)(xf，即0)1(2axeaxx．………………1分因为0axe,所以012axx．……………………2分a41,因为0a,所以0.所以方程012axx有两个不等实根：212aaaxa，222aaaxa．所以函数)(xf有且只有两个零点212aaaxa和222aaaxa.…3分(Ⅱ)21axfxaxxea．…………………4分令()0fx，即210axxa，解得2xa或1x．……5分当0a时，列表得：x2(,)a2a2(,1)a1(1,)()fx+0－0+()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增……………………………6分当0a时，（1）若2a，则21a，列表得x2(,)a2a2(,1)a1(1,)()fx－0+0－()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………7分（2）若20a，则21a，列表得9x,1121,a2a2,a()fx－0+0－()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………8分综上，当0a时，()fx单调递增区间为2(,)a，(1,)，单调递减区间为2(,1)a；当2a时，()fx单调递增区间为2(,1)a，单调递减区间为2(,)a，(1,)；当20a时，()fx单调递增区间为21,a，单调递减区间为,1，2,a．………………9分(Ⅲ)因为0a，所以当2xa时，有20x，2xa，0a，所以210xxa，从而0fx．………………10分当2xa时，由（Ⅱ）可知函数在1x时取得极小值1(1)0afea．所以，11afea为函数fx在R上的最小值．…………………11分由题意，不等式02)(axf对xR