北师大版25二次函数与一元二次方程教案

第二章二次函数2.5二次函数与一元二次方程（2）一、知识点1.一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标．2.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤：①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解.二、教学目标知识与技能：1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力.2.理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标．过程与方法：1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．2.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．情感态度与价值观：通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．三、重点与难点重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解.难点：用逼近法求一元二次方程近似解.四、引入新知[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，先让我们来共同回顾一下：(放幻灯片1、2）通过回顾懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．下面让我们做几个练习.（放幻灯片3）设计意图：复习上节课内容，为心得知识做铺垫.利用二次函数图像估计一元二次方程的根，在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．五、探究新知你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？（放幻灯片4）．函数y＝x2＋2x－10的图象如图：[师]（放幻灯片5）从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．[生]有关估算问题我们在前面已学习过了，即是用试一试的方法进行的．既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根)．[师]由于计算比较烦琐，所以大家可以用计算器进行计算．[生]从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．x－4.1－4.2－4.3－4.4y－1.39－0.76－0.110.56从上表可知，当x取－4.1，－4.2，－4.3，－4.4时，y的值都不等于0，所以x的取值还不准确，应继续估计百分位上的数，十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字．所以x应取负的4点3几．再按同样的方法求百分位上的数字．依次类推，即可求出比较准确的x的值．[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行，但我们的重点是求解方程的思路，而不是求解的结果．因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位．[生]因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．[师]有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续．[生]另一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索．x2.12.22.32.4y－1.39－0.76－0.110.56由于当x＝2.3时，y的值最接近0，所以另一个根的近似值为x＝2.3．设计意图：让学生体会二次函数和一元二次方的关系，通过图象求一元二次方程的近似根.培养学生观察，自主探究意识.[师]（放幻灯片6）你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应该注意什么？六、例题讲解例题：利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根．[生甲]（放幻灯片7、8）利用函数y＝x2＋2x－10的图象与直线y＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3的解．分别画出函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．但是还与上面的题型不太一样．上面的题是利用二次函数y＝x2＋2x－10的图象估计方程x2＋2x－10＝0的根，现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2＋2x－10＝3的根呢？[生乙]（放幻灯片9）函数y＝x2＋2x－13的图象如下图：由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．x－4.5－4.6－4.7－4.8－4.9y－1.75－1.04－0.310.441.21因此x＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：x2.52.62.72.82.9y－1.75－1.04－0.310.441.21因此x＝2.7是方程的另一个近似根．设计意图：引导学生借助不同图象，使用多种方式分析这样的问题.培养学生对知识的综合应用能力.七、课堂练习1.（放幻灯片10）二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示，求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.2.（放幻灯片11、12）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x﹥0)。柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？设计意图：练习层次分明，在让学生形成成就感的同时，有利于培养学生的研究习惯.八、课堂小结（放幻灯片13、14）利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程没有应用价值，但它体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘.九、课后作业（放幻灯片15）P57习题2.11