Γ函数

Γ函数维基百科，自由的百科全书（重定向自伽瑪函數）函数，也叫做伽玛函数（Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数z，伽玛函数定义为:此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。如果n为正整数，则伽玛函数定义为:Γ(n)=(n−1)!，这显示了它与阶乘函数的联系。可见，伽玛函数将n拓展到了实数与复数域上。在概率论中常见此函数，在组合数学中也常见。函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：对复数，我们要求Re(z)0。Γ函数还可以通过对做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：这样定义的Γ函数在全平面除了以外的地方解析。Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示：这样定义的Γ函数在全平面解析函数可以用无穷乘积表示：其中是欧拉-马歇罗尼常数。[编辑]Gamma积分[编辑]递推公式函数的递推公式为：Γ(x+1)=xΓ(x)，对于正整数，有Γ(n+1)=n!，可以说函数是阶乘的推广。[编辑]递推公式的推导我们用分部积分法来计算这个积分：当时，。当趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：.因此第一项变成了零，所以：等式的右面正好是。因此，递推公式为：。[编辑]重要性质Γ函数在实轴上的函数图形当时，欧拉反射公式：由此可知当时，。乘法定理：。。补充：此式可用来协助计算t分布概率密度函数、卡方分布概率密度函数、分布概率密度函数等的累计概率。[编辑]特殊值[编辑]导数[编辑]复数值[编辑]斯特灵公式斯特灵公式能用以估计Γ函数的增长速度。[编辑]解析延拓Γ函数的绝对值函数图形注意到在Γ函数的积分定义中若取为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程并注意到函数在整个复平面上有解析延拓，我们可以在Re(z)1时设从而将函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在有单极点，留数为