北理工信号与系统实验(5)

实验5连续时间系统的复频域分析一、实验目的1．掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB实现方法。2．学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。3．掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。二、实验原理与方法1.拉普拉斯变换连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换、反变换定义为MATLAB中，可以采用符号数学工具箱的laplace函数和ilaplace函数进行拉氏变换和拉氏反变换。L=laplace(F)符号表达式F的拉氏变换，F中时间变量为t，返回变量为s的结果表达式。L=laplace(F,t)用t替换结果中的变量t。F=ilaplace(L)以s为变量的符号表达式L的拉氏反变换，返回时间变量为t的结果表达式。F=ilaplace(L,x)用x替换结果中的变量t。2.连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲击响应的拉氏变换连续时间系统的系统函数还可以由输入和输出信号的拉氏变换之比得到单位冲击响应h(t)反映了系统的固有性质，而H(s)从复频域反映了系统的固有性质。由上式描述的连续时间系统，其系统系数为s的有理函数3.连续时间系统的零极点分析系统的零点指使上式的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s平面上，零点用○表示，极点用×表示，得到零极点分布图。由零点定义可知，零点和极点分别指上式分子和分母多项式的根，利用MATLAB求多项式的根可以通过roots来实现，该函数调用格式为：r=roots(c)c为多项式的系数向量，返回值r为多项式的根向量。分别对上式的分子、分母多项式求根即可求得零极点。此外，在MATLAB中还提供了pzmap函数来求取零极点和绘制系统函数的零极点分布图，该函数的调用格式为：Pzmap(sys)绘出系统模型sys描述的系统的零极点分布图。[p,z]=pzmap(sys)这种调用方法返回极点和零点，而不绘出零极点分布图。其中sys为系统传函模型，由t命令sys=tf(b,a)实现，b、a为传递函数的分子和分母多项式的系数向量。MATLAB还提供了两个专用函数tf2zp和zp2tf来实现系统传递函数模型和灵机电网增益模型的转换，其调用格式为[z,p,k]=th2zp(b,a)[b,a]=th2zp(z,p,k)其中b、a为传递函数的分子和分母多项式的系数向量，返回值z为零点列向量，p为极点列向量，k为系统函数零极点形式的增益。三、实验内容1.已知系统的冲激响应h(t)u(t)u(t2)，输入信号x(t)u(t)，试采用复频域的方法求解系统的响应，编写MATLAB程序实现。解：MATLAB程序如下：h=sym('heaviside(t)-heaviside(t-2)');H=laplace(f)x=sym('heaviside(t)');X=laplace(x)Y=H*X结果如下：H=1/s-exp(-2*s)/sX=1/sY=-(exp(-2*s)/s-1/s)/s2.已知因果连续时间系统的系统函数分别如下：①321()221Hssss②54321()23332Hssssss试采用MATLAB画出零极点分布图，求解系统的冲激响应()ht和频率响应()H，并判断系统是否稳定。（1）321()221Hssss零极点分布图b=[1];a=[1221];sys=tf(b,a);[p,z]=pzmap(sys)pzmap(sys)结果如下：p=-1.0000+0.0000i-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660iz=Emptymatrix:0-by-1-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)冲激响应b=[1];a=[1221];impulse(b,a)02468101214-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.40.45ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude频率响应b=[1];a=[1221];[H,w]=freqs(b,a);subplot(211);plot(w/pi,abs(H));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('Magnitude');title('|H(j\omega)|');gridon;subplot(212);plot(w/pi,angle(H)/pi);xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('Phase');title('|phi(\omega)|');gridon;00.511.522.533.500.51(rad/s)Magnitude|H(j)|00.511.522.533.5-1-0.500.51(rad/s)Phase|phi()|（2）54321()23332Hssssss零极点分布图b=[101];a=[12-3332];sys=tf(b,a);[p,z]=pzmap(sys)pzmap(sys)结果如下：p=-3.1704+0.0000i0.9669+0.9540i0.9669-0.9540i-0.3817+0.4430i-0.3817-0.4430iz=0.0000+1.0000i0.0000-1.0000i-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)冲激响应b=[101];a=[12-3332];impulse(b,a)010203040506070-2.5-2-1.5-1-0.500.51x1028ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude频率响应b=[101];a=[12-3332];[H,w]=freqs(b,a);subplot(211);plot(w/pi,abs(H));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('Magnitude');title('|H(j\omega)|');gridon;subplot(212);plot(w/pi,angle(H)/pi);xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('Phase');title('|phi(\omega)|');gridon;00.511.522.533.500.20.40.60.8(rad/s)Magnitude|H(j)|00.511.522.533.5-0.500.51(rad/s)Phase|phi()|3.已知连续时间系统函数的极点位置分别如下所示①0p②2p③2p④122,2pjpj⑤1214,14pjpj⑥1214,14pjpj试用MATLAB绘制上述6种不同情况下，系统函数的零极点分布图，并绘制相应冲激响应的时域波形，观察并分析系统函数极点位置对冲激响应时域特性的影响。（1）0pb=[1];a=[10];sys=tf(b,a);subplot(211)pzmap(sys);subplot(212)impulse(sys);-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.500.51Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.200.511.52ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude（2）2pb=[1];a=[12];sys=tf(b,a);subplot(211)pzmap(sys);subplot(212)impulse(sys);-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-1-0.500.51Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)00.511.522.5300.51ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude（3）2pb=[1];a=[1-2];sys=tf(b,a);subplot(211)pzmap(sys);subplot(212)impulse(sys);00.20.40.60.811.21.41.61.82-1-0.500.51Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)051015202530051015x1025ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude（4）122,2pjpjb=[1];a=[104];sys=tf(b,a);subplot(211)pzmap(sys);subplot(212)impulse(sys,10);axis([010-11])-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-2024Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)012345678910-1-0.500.51ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude（5）1214,14pjpjb=[1];a=[1217];sys=tf(b,a);subplot(211)pzmap(sys);subplot(212)impulse(sys);-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-4-20240123456-0.100.10.20.3Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude（6）1214,14pjpjb=[1];a=[1-217];sys=tf(b,a);subplot(211)pzmap(sys);subplot(212)impulse(sys);00.20.40.60.811.21.4-4-2024Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)051015202530-2-1012x1012ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude4.已知连续时间系统的系统函数分别如下：①21()217Hsss②28()217sHsss③28()217sHsss上述3个系统具有相同的极点，只是零点不同，试用MATLAB分别绘出系统的零极点分布图及相应冲激响应的时域波形，观察并分析系统函数零点位置对冲激响应时域特性的影响。（1）21()217Hsssb=[1];a=[1217];sys=tf(b,a);subplot(211)pzmap(sys);subplot(212)impulse(sys);-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-4-2024Pole-ZeroMapRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)0123456-0.100.10.20.3ImpulseResponseTime(seconds)Amplitude（2）28()217sHsssb=[18];a=[1217];sys=tf(b,a);subplot(211)pzmap(sys);subplot(212)