上海市延安中学度高二第一学期期末考试数学试题

上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（每题3分，共42分）1、方程组25032xyxy的增广矩阵为___________.2、抛物线22xy的准线方程是___________.3、过点(5,3)P和点(2,4)Q的直线的倾斜角为___________.4、执行右边的程序框图，输入8k，则输出S的值是___________.5、已知点(4,3)A和(2,1)B，点P满足||||PAPB，则点P的轨迹方程是___________.6、已知直线30axy过点(1,1)，则行列式13112211a的值为___________.7、若方程22146xykk表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是___________.8、已知直线1:210lxmy平行于直线2:(1)10lmxy，则实数m=___________.9、直线3ykx与圆226490xyxy相交于M，N两点，若23MN，则k的取值范围是___________.10、若曲线24yx与直线(2)3ykx有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是___________.11、点P是抛物线2yx上的动点，点Q的坐标为(3,0)，则PQ的最小值为___________.12、一条光线从点(3,5)A射到直线:30lxy后，在反射到另一点(2,12)B，则反射光线所在的直线方程是___________.13、记直线:(1)10nlnxny*()nN与坐标轴所围成的直角三角形面积为nS，则123lim()nnSSSS=___________.14、已知P为椭圆22:12516xyC上的任意一点，2F为椭圆C的右焦点，M点的坐标为(1,3)，则2PMPF的最小值为___________.二、选择题（每题4分，共16分）15、已知点(3,0)A和点(3,0)B，动点M满足||||4MAMB，则点M的轨迹方程是（）（A）221(0)45xyx；（B）221(0)45xyx（C）221(0)95xyx；（D）221(0)95xyx.16、已知直线1:210laxy与直线2:230laxy，“2a”是“1l的方向向量是2l的法向量”的（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件.17、直线2x与双曲线2214xy的渐近线交于A、B两点，设P为双曲线上的任意一点，若OPaOAbOB（,abR，O为坐标原点），则a、b满足的关系是（）（A）12ab；（B）14ab；（C）2212ab；（D）2214ab.18、如图，函数33xyx的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（）①渐近线方程是33yx和0x；②对称轴所在的直线方程为3yx和33yx；③实轴长和虚轴长之比为3:3；④其共轭双曲线的方程为33xyx.（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个.三、简答题（共42分）19、（本题6分）已知双曲线与椭圆221164xy焦点相同，且其一条渐近线方程为20xy，求该双曲线方程.20、（本题7分）已知曲线C在y轴右侧，C上每一点到点(1,0)F的距离减去它到y轴距离的差都等于1，求曲线C的方程.21、（本题7分）已知直线1:240lxy，求1l关于直线:3410lxy的对称的直线2l的方程.22、（本题10分，第1小题3分，第2小题7分）如图，抛物线的方程为22(0)ypxp.（1）当4p时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F的距离；（2）已知该抛物线上一点P的纵坐标为(0)tt，过P作两条直线分别交抛物线与11(,)Axy、22(,)Bxy，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：12yyt为定值；并用常数p、t表示直线AB的斜率.23、（本题12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，已知椭圆C的方程为22221(12)12xybb，且长轴长与焦距之比为3:2，圆O的圆心在原点O，且经过椭圆C的短轴顶点.（1）求椭圆C和圆O的方程；（2）是否存在同时满足下列条件的直线l：①与圆O相切与点M（M位于第一象限）；②与椭圆C相交于A、B两点，使得2OAOB.若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（每题3分，共42分）1、方程组25032xyxy的增广矩阵为______125312_____.2、抛物线22xy的准线方程是_____12y______.3、过点(5,3)P和点(2,4)Q的直线的倾斜角为__1arctan7__.4、执行右边的程序框图，输入8k，则输出S的值是_____70_____.5、已知点(4,3)A和(2,1)B，点P满足||||PAPB，则点P的轨迹方程是______50xy_____.6、已知直线30axy过点(1,1)，则行列式13112211a的值为_____0_____.7、若方程22146xykk表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是___(6,1)__.8、已知直线1:210lxmy平行于直线2:(1)10lmxy，则实数m=_____2____.9、直线3ykx与圆226490xyxy相交于M，N两点，若23MN，则k的取值范围是_____3[,0]4______.10、若曲线24yx与直线(2)3ykx有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是_____53[,]124______.11、点P是抛物线2yx上的动点，点Q的坐标为(3,0)，则PQ的最小值为____112___.12、一条光线从点(3,5)A射到直线:30lxy后，在反射到另一点(2,12)B，则反射光线所在的直线方程是______3180xy_____.13、记直线:(1)10nlnxny*()nN与坐标轴所围成的直角三角形面积为nS，则123lim()nnSSSS=______12_____.14、已知P为椭圆22:12516xyC上的任意一点，2F为椭圆C的右焦点，M点的坐标为(1,3)，则2PMPF的最小值为______5_____.二、选择题（每题4分，共16分）15、已知点(3,0)A和点(3,0)B，动点M满足||||4MAMB，则点M的轨迹方程是（B）（A）221(0)45xyx；（B）221(0)45xyx（C）221(0)95xyx；（D）221(0)95xyx.16、已知直线1:210laxy与直线2:230laxy，“2a”是“1l的方向向量是2l的法向量”的（A）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件.17、直线2x与双曲线2214xy的渐近线交于A、B两点，设P为双曲线上的任意一点，若OPaOAbOB（,abR，O为坐标原点），则a、b满足的关系是（B）（A）12ab；（B）14ab；（C）2212ab；（D）2214ab.18、如图，函数33xyx的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（D）①渐近线方程是33yx和0x；②对称轴所在的直线方程为3yx和33yx；③实轴长和虚轴长之比为3:3；④其共轭双曲线的方程为33xyx.（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个.三、简答题（共42分）19、（本题6分）已知双曲线与椭圆221164xy焦点相同，且其一条渐近线方程为20xy，求该双曲线方程.由已知可设双曲线方程为222xy，由于双曲线与椭圆221164xy焦点相同，故0.将其化为标准方程2212xy，则有164122，解得8，故双曲线方程为22184xy.20、（本题7分）已知曲线C在y轴右侧，C上每一点到点(1,0)F的距离减去它到y轴距离的差都等于1，求曲线C的方程.设曲线C上任意一点(,)xy，则有题意可得22(1)1xyx，整理得24yx.又曲线C在y轴右侧，故0x，从而曲线C的方程为24yx(0)x.21、（本题7分）已知直线1:240lxy，求1l关于直线:3410lxy的对称的直线2l的方程.由已知可求得直线1l与直线l的交点为(3,2)，故设直线2l的方程为(3)(2)0axby由夹角公式可得2222(2,1)(3,4)(,)(3,4)3425555abababab，解得22()11aorb舍从而直线2l的方程为2(3)11(2)0xy，即211160xy22、（本题10分，第1小题3分，第2小题7分）如图，抛物线的方程为22(0)ypxp.（1）当4p时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F的距离；（2）已知该抛物线上一点P的纵坐标为(0)tt，过P作两条直线分别交抛物线与11(,)Axy、22(,)Bxy，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：12yyt为定值；并用常数p、t表示直线AB的斜率.（1）当4p时，28yx，代入2y，解得12x.则由抛物线定义可知：该点到焦点F的距离即为其到准线2x的距离，为52.（2）设2(,)2tPtp(0)t，由题意0PAPBkk，即122212022ytytttxxpp，由于A、B在抛物线上，故上式可化为122222121211002222ytytyyttytytpppp从而有1220yyt，即122yyt为定值.直线AB的斜率121222121212222AByyyyppkyyxxyytpp.23、（本题12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，已知椭圆C的方程为22221(12)12xybb，且长轴长与焦距之比为3:2，圆O的圆心在原点O，且经过椭圆C的短轴顶点.（1）求椭圆C和圆O的方程；（2）是否存在同时满足下列条件的直线l：①与圆O相切与点M（M位于第一象限）；②与椭圆C相交于A、B两点，使得2OAOB.若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.（1）由已知：222238,42acbc，故椭圆C的方程为221124xy；又圆O圆心在原点，半径为2b，圆O的方程为224xy.（2）存在。设直线:(0,0)lykxbkb，其与椭圆C的交点为11(,)Axy，22(,)Bxy由条件①可得2OM，即222||24(1)1bbkk1再由22(0,0)1124ykxbkbxy可得1222222221226313()120(31)6312031231kbxxkxkxbkxkbxbbxxk，由条件②可得221212121212122()()2(1)()20xxyyxxkxbkxbkxxkbxxb，进而可化简22222223126(1)2092703131bkbkkbbkbkk2综合1，2可解得2218kb