关于线性代数的二三事

关于线性代数的二三事（整理而成非原创）1.线性代数的教学主线通过线性代数课程师资网络培训的学习，从李尚志老师那里，我学到了很多东西，在很多方面有了新的认识，收获很大，感触颇深。通过与参加培训的老师们的广泛交流，让我对其它高校线性代数的教学状况有了新的了解，也促使我开动脑筋，对线性代数课程进行更深层的思考。在参加培训和培训结束后的这些日子里，我看了很多有关线性代数的教学资料及教材，但由于时间比较紧，有些只能做到初步了解，还没来得及做更深入的研究。在这段时间里，我总是感觉很激动，很兴奋，我计划借这次培训的东风，进一步加强学习，使自己对线性代数的理解和教学水平能有一个质的飞跃。下面针对线性代数的教学主线谈谈我个人的理解。线性代数的主要研究对象是矩阵、向量组、线性方程组、二次型、线性空间和线性变换。其中矩阵部分的内容最多，也最丰富，矩阵部分的内容包括：矩阵的基本概念、矩阵的基本运算、分块矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、行列式、可逆阵、矩阵的秩、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的相似变换、矩阵的合同变换及正定矩阵。矩阵是线性代数的主线和骨架，讲线性代数主要是讲矩阵的理论。线性代数的主要问题和主要概念来自于线性方程组和空间解析几何，将矩阵的问题与线性方程组和空间解析几何有机结合，把向量组、线性方程组、二次型和线性变换中的主要问题看作矩阵理论的应用。突出矩阵的三个数值特征（行列式、秩、特征值）、矩阵的行阶梯形（包括方阵的上、下三角形）、矩阵的三个标准形（等价标准形、相似标准形及合同标准形）的重要性，以下是我对线性代数教案的设计。首先介绍矩阵的基本概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法和分块矩阵，然后介绍矩阵的初等变换与初等矩阵，讲述初等变换与初等矩阵时，重点是讲述一个矩阵乘初等矩阵等价于对该矩阵进行初等变换，即乘初等矩阵的等式与初等变换的相互转换关系。向学生渗透线性代数研究问题的主要思想之一是：研究对矩阵作何种变换能保持矩阵的何种性质不变，而要得到这些结论主要是先证明一个矩阵乘以某种初等矩阵能保持矩阵的某种性质或矩阵所对应的某种量不变。例如，行列式的性质中有三条可用初等变换的语言来描述，根据倍加变换不改变行列式的值，可通过用倍加变换把方阵化成上（下）三角阵来证明方阵乘积的行列式公式及分块上（下）三角阵的行列式公式，化为上（下）三角行列式来计算行列式的方法也是矩阵化简的主要思想，初等变换不改变矩阵的秩的结论可通过证明乘可逆阵矩阵的秩不变来获得，用初等行变换求逆矩阵的方法的讨论也用到了上面的思想。矩阵的初等变换的讲述重点之二是：讲述怎样用初等变换将矩阵化成阶梯形和等价标准形，以及只用倍加变换将方阵化成上（下）三角阵的做法。问题的描述和证明尽量采用分块矩阵的形式。把行列式作为方阵的数值特征，行列式的性质及计算尽可能地使用矩阵的语言和方法。讲述向量组的线性相关性、向量组的秩及向量组的极大线性无关组时，先主要介绍基本概念和一些简单结论，然后马上引入矩阵的秩的概念，重点介绍矩阵的秩的性质，把向量组的线性相关性的讨论、向量组的秩和极大无关组的求法以及向量组之间的线性表示的研究作为矩阵的秩的应用来加以解决。把线性方程组解的存在性和解空间的研究看作向量组和矩阵的秩的应用，线性方程组的通解的表示可看作极大线性无关组的应用，解线性方程组的主要计算就是化矩阵为行最简形。讲述矩阵的特征值与特征向量、相似对角化及二次型部分时，先重点讲述特征值与特征向量的性质、相似矩阵的性质、相似对角化的条件及做法、实对称阵矩阵的相似对角化与合同对角化以及对称正定矩阵，然后把化二次型为标准型及正定二次型的研究作为实对称阵相关结论的应用。通过把线性空间与向量组联系起来，把线性变换与矩阵对应起来，可把线性空间及其线性变换看作向量组与矩阵的应用。在讲课的过程中，注意强调矩阵的三个数值特征（行列式、秩、特征值）、三个标准形（等价标准形、相似标准形、合同标准形）及矩阵的行阶梯形和最简行梯形的重要性，并让学生明白线性代数的计算主要是通过对矩阵进行初等变换来完成的。例如，方阵是否可逆的判断、伴随阵的计算、n×n型线性方程组的解的研究、Cramer法则、方阵的行（列）向量组的线性相关性的判别、矩阵秩的定义、特征值的计算、正定阵的判定都用到行列式；向量组的线性相关性的判别、极大线性无关组的计算、一般线性方程组解的存在性、齐次线性方程组解空间的维数、方阵是否可对角化的讨论以及二次型的秩都用到矩阵的秩；方阵的相似对角化及二次型的研究都用到矩阵的特征值。大连理工大学应用数学系__代万基2007-11-212.2015线性代数考研复习主线线性代数，相对高数来说，是比较简单的学科。但是考生的得分不是很理想，这主要是没有掌握住线性代数的特点:内容抽象;概念多，性质多;内容纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透。一、内容抽象，尤其向量部分最为典型。在现实生活中，我们可以看到一维空间、二维空间甚至是三维空间，但是对于n维空间我们是难以想象的。向量主要研究的就是n维向量，所以这就需要较强的抽象思维和逻辑推理能力。这一点对于侧重于计算能力培养的工科学生来说是一个难点。因此在学习的过程中，对所涉及的基本概念应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其它概念的联系以及它们的作用，一步步达到运用自如的境地。二、概念多，性质多，定义多，定理多。例如有关矩阵的，就有相似矩阵、合同矩阵、正定矩阵、正交矩阵、伴随矩阵等概念。在向量这部分，向量组线性相关的性质就10几个。三、符号多，运算法则多，有些运算法则与以前的完全不同。如数的运算满足交换律、结合律和消去律;但是矩阵的运算与之有相同的也有不同的，矩阵的运算不满足交换律和消去律，但是满足结合律。所以这些在复习的时候一定要注意区分。四、内容纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透。线性代数内容之间的联系是比较紧密的。相对高数来说，它们的联系又是非常隐蔽的。以可逆矩阵为例，n阶矩阵A是可逆的，从行列式的角度有其等价说法，就是n阶矩阵A的行列式不等于0;从矩阵的角度它的等价说法是矩阵A的秩等于阶数n;从向量的角度描述，就是矩阵的行向量组是线性无关的，同时列向量组也是线性无关的，并且任何一个n维列(行)向量都可以由该矩阵的列(行)向量组来线性表示;从特征值的角度描述，就是矩阵A的特征值都是非零的。可逆矩阵这个知识点在线性代数的各章节之间都有其等价说法，所以在复习整个线性代数时，要不断的归纳总结，找出它们之间的联系。也正是由于线性代数具有这样的特点，这就给综合命题创造了条件。因此在学习的过程中，对所涉及的概念、性质及定理要理解，同时很多东西还要靠记忆，尤其要注意基本概念、基本方法之间的相互关系，有些问题是相互交错，相互渗透，似螺旋上升，比如矩阵的秩与向量组的秩、线性方程组与向量组的线性组合、线性相关之间的关系。弄清这些关系，一方面可对所涉及的概念通过不断重复而达到加深印象的目的，另一方面也能对问题有进一步的深入理解。针对线性代数的这些特点,建议2015年的考生们在复习过程中综合掌握一条主线，两种运算，三个工具。这条主线就是解线性方程组。线性方程组是线性代数的主线，也是考试的重点。在求解线性方程组时主要涉及两种运算：求行列式、矩阵的初等行(列)变换。要把握行列式与矩阵之间的区别和联系，在进行运算的过程中保证计算的准确和速度。那三个工具就是行列式、矩阵、向量，他们贯穿整个线性代数的始终。学程高辅中心数学老师从2014年数学考试情况分析中看出，有很多考生表现出了很高的数学造诣和较强的数学能力，但整体得分较低，说明考生的基础还不够扎实，学习和复习中还存在一些问题。首先是推理论证能力没有达到要求，其次是分析问题和解决问题的能力有一定的差距，特别是处理应用题和证明题的能力。考生对常见的试题类型和知识点得分情况较好，对大纲中要求的但在以前考试中出现频率低的试题和内容，特别是一些立意和形式新颖的试题，得分情况就不好，说明考生知识掌握的不够全面，有应试倾向，不利于考生能力的全面发展。老师提醒同学们还要注意综合题目，因为在教学中，各部分内容是单独讲的，综合训练的时间较少，而研究生考试更多是多个知识点联系在一起，要彻底理清各章的关系和各个知识点的联系，综合应用知识解决问题。另外运算能力不过关，会而不全，算而不对的情况在试卷中很常见，线性方程组解错、特征值和特征向量算错等，这也是考生在学习和复习中应着力解决的问题，计算认真是一项重要的任务。3.关于线性代数学科代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。整理者注：线性代数的核心在于解线性方程组，而主要解法有三，行列式解法，矩阵解法，向量组解法。由此发展而来的线性代数核心理论，向量空间理论与矩阵理论。而平时教学中偏重于矩阵理论，忽视了向量空间理论。单翅之鸟终难飞远之道理用此亦然。(个人理解，不喜勿喷。)2014-12-25