动态问题专题

p刚第1页动态问题一、有关动点问题的动态题动点与坐标1、如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第1秒钟，它从原点运动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动，且每秒移动1个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（）A.（4，0）B.（5，0）C.（0，5）D.（5，5）2、如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x轴的直线m1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线m2的一个交点，……按照这样的规律进行下去，点An的坐标为_______.3、把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标。例如1的对应点是原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（-1，2）。（1）9的对应点的坐标为______；25的对应点的坐标为______；49的对应点的坐标为______。（2）2009的对应点的坐标是什么？要求简述理由。说明：这类题的解法都有一个共性，就是先求出一些点的坐标，作为下一步推理的铺垫，再去寻找横纵坐2612p刚第2页标之间的变化规律，由此得出所求点的坐标。这个题组看上去难度、要求各不相同，用随机零碎的方式也可以解答，但其达到的效果应该比不上集中研究的效果好。有的学生推理的能力不强，但是一个由3-5题组成的题组，给他们提供了较多尝试的机会，有了更多独立思考的空间，为深度掌握这类题型提供了条件，当学生下一次接触这类题型时，就感到记忆尤新、得心应手。动点与三角形1、如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__________________。2、如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B坐标为)2,(m（其中m0），在BC边上选取适当的点E和点F，将ΔOCE沿OE翻折，得到ΔOGE；再将ΔABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到ΔAGF，且∠OGA=90°．（1）求m的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得ΔOPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）．3、如图，抛物线y=ax2-8ax+12a(a0)与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC。（1）求线段OC的长；（2）求该抛物线的函数关系式；（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。分析：这几道题涉及到等腰三角形的分类，要考虑等腰三角形的底边可能是OP、也可能是PD或OD，学生常常因考虑问题不全面，造成答案遗漏。p刚第3页如：第1小题，建议学生先用圆规作图，找到符合条件的3个点P的位置，然后在分不同情形进行计算。如果部分学生没有动手操作，导致答案遗漏，那么在这个题组的下面两个小题中，他会特别注意分类情况。这样，通过题组练习，给学生更多的尝试机会和更多的成功体验，有利于提高全体学生的自信心。说明：动态问题中常需要进行分类讨论。分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想具有明显的逻辑性、综合性和探索性，能训练学生的思维条理性和概括性，在动态问题中需要对具体情形作完整的分类。动点与四边形1、如图，将一边AB长为4cm的矩形框架ABCD与两直角边分别为4cm、3cm的直角三角形框架拼成直角梯形ABED。动点P、Q同时从点E出发，点P沿E→D→A方向以每秒3cm的速度运动；点Q沿E→B→A方向以每秒4cm的速度运动。而当点P到达点A时，点Q正好到达点A。设P、Q同时从点E出发，经过的时间为t秒。（1）分别求出梯形中DE、AD的长度。（2）当t=1.75时，求△EPQ的面积，直接写出此时△EPQ的形状。（3）在点P、Q运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形APEQ是梯形？若存在，请求出相应的t值；若不存在，请说明理由。2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90゜,AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长度的速度运动；动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长度的速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之p刚第4页PABMNOQ停止运动。在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ。设运动时间为t秒。（1）设四边形PCQD的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）t为何值时，四边形PQBA时梯形？（3）是否存在时刻t，使得PD与AB平行？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。说明：这类题反映出解动态问题的一般方法，这种方法简而言之就是“以静制动，动中窥静”。在求变量之间的关系时，要“以静制动”，要将变量当作用字母所代表的量，将图形中的动点看作是瞬间固定的点。在运动问题中，最常见的一类问题是已知动点运动的速度，而运动时间是变量t，在次情景下有出现两类问题：其一是当动点运动到某一位置时求t的值，或探索动点能否到达某一位置，解决这类问题的关键是正确运用方程思想；其二是求问题中随变量t而变化的另一变量与t的关系式，解决这类问题的关键就是运用“以静制动”的方法。二、有关直线运动问题的动态题1、如图，直线m⊥n，垂足为点O，Ａ、Ｂ是直线m上的两个点，且OB=2，AB=2，直线ｍ绕点Ｏ按逆时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°）．（１）当α＝60°时，在直线n上找点p，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，此时OP=___________。（２）当a在什么范围内变化时，直线n上存在一点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，请用不等式表示a的取值范围___________。2、如图，已知圆O的半径为6cm，射线PM经过点O,OP=10cm，射线PN与圆相切于点Q．A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t秒．（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与圆O相切？说明：解答这类问题需要“以静制动”，在这里所谓的“静”，就是要抓住运动中的不变量，以“不变”应“变”。解答运动型问题常需要讨论，这是需要提醒学生注意的一点，否则可能会出现解答不完整的错误。三、有关图形运动问题的动态题图形的滚动1、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠ACB=90゜,∠CAB=30゜,BC=1m.工人师傅要把此物体p刚第5页搬到墙边，先将AB边放在地面（直线m）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置，最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度，此时A2C2恰好靠在墙边。求点A所经过的路径的长。2、如图，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为___________3、已知：圆心角为30゜，半径为3的扇形AOB如图所示，先绕点A顺时针旋转90゜，再沿直线m作无滑动的滚动后，再绕点B旋转90゜到达如图扇形A＇O＇B＇的位置，则点O所经过的总路程长是_____________.4、如图，将边长为2cm的正六边形ABCDEF的6条边沿直线m向右滚动（不滑动），当正六边形滚动一周时，顶点A所经过的路线长是___________。5、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图甲位置滚动到图乙的位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为________度。图形的平移1、在平面直角坐标系中，直线AB交x轴、y轴于点A（4，0），B（0，-3）。现有一个半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右平移，则经过____________秒后，动圆与直线AB相切。p刚第6页2、在Rt△AOB中，∠AOB=90゜,∠ABO=30゜，BO=4。以OA、OB边所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点D为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作正△ODE。（1）如图甲，当点E恰好落在线段AB上时，求点E的坐标。（2）在（1）的条件下，将△ODE沿线段OB向右平移，如图乙，AB与DE交于点F，线段EF与线段OO´始终相等吗？请证明你的结论。（3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重合部分为y，当2x4时，请直接写出y与x之间的函数解析式。说明：（1）遇到与运动中的多边形或圆有关的问题是，首先要弄清其中的不变量。一般的，多边形或圆的大小、形状不变，改变的只是其位置。（2）设计运动的多边形问题，常常需要求“重叠部分”的面积。解决这类问题一定要“动中窥静”，要让运动的多边形在题目允许的范围内相对地安静下来。当然，如果在整个过程中“重叠部分”的形状在改变，就要运用分类讨论的思想去解决。总的来说，图形运动型试题正倍受关注。图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质。在解题中，我们要引导学生通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。