关于行列式的计算方法的探讨

关于行列式的计算方法的探讨目录摘要..................................................................................1关键词................................................................................1Abstract..............................................................................1KeyWords.............................................................................1一、引言..............................................................................2二、n级行列式的定义...................................................................3三、n级行列式的计算...................................................................3（一）化三角形法..................................................................3（二）降阶法......................................................................4（三）加边升阶法（加边法）........................................................5（四）递推法......................................................................6（五）归纳猜想法..................................................................7（六）拆分法（分块矩阵法）........................................................8（七）构造方程法（求根法）.......................................................10（八）导数法（微分方程法）.......................................................10（九）微积分法...................................................................11（十）克莱姆法则法和逆向运用克莱姆法则方法.......................................12（十一）对角化法.................................................................13（十二）借助已知结果方法来计算行列式.............................................14（十三）用“过渡行列式”来计算...................................................15（十四）利用循环行列式的解法来解（乘以范德蒙行列式的方法）.......................16四、总结.............................................................................18参考文献.............................................................................19致谢..............................................................................20第1页共20页关于行列式的计算方法的探讨摘要：本文针对一个n阶行列式归纳了计算行列式的十四种不同方法，如：递推法，微分法，微积分法，化对角形法等等。通过对这些方法的总结归纳以提高我们计算n阶行列式的能力，同时也希望我们对行列式计算有一个更深层次的认识，对以后的学习有一定的指导意义，达到一题多解的解题效果，从而再找出最优法。关键词：n阶行列式递推法微分法微积分法化对角形法Abstract:Thisarticleonanorderdeterminantwithasummaryofthedeterminantsoffourteendifferentmethods,suchaspresent,thedifferentiallaw,calculuslaw,turnrightangleandsoon,Thoughthesemethodsthatwecansummarizethenordertoimproveourdeterminant,andwealsohopethatwehavecalculatedthedeterminantisadeeperunderstandingofthestudyofdirectsignificancethathowtosolveaproblemoftheresults,andfindoutthebestmethod.KeyWords:Norderdeterminant,Prensent,Differentiallaw,Calculuslaw,Turnrightangle第2页共20页一、引言行列式是从解线性方程组诞生出来的，它是讨论线性方程组的有力工具，然而，它的应用早已超出代数的范围，成为解析几何，数学分析，微分方程，概率统计等许多数学分支的基本工具。因此，对行列式的学习应当重视，但是行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题，n级行列式一共有n！项，计算它时需要做n!(n-1)个乘法。当n较大时，n！是一个相当大的数字。应用定义法，求非零元素乘积项的时候，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。但有些行列式，特别是含字母的高阶行列式，解起来却很困难，且行列式计算灵活多变，需要较强的技巧，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事情。因此我们有必要进一步讨论行列式的其它计算方法。本文针对n阶行列式...............nnbaaaabaaaabaaaaaaaab（*）从化三角形法，降阶法，加边升阶法，递推法，归纳猜想法，拆分法，构造方程法，微积分法，微分方程法，克莱姆法则，已知结果法，过渡行列式法，循环行列式法，对角化法十四种方法对行列式进行计算。注：本文对于行列式...............nnbaaaabaaaabaaaaaaaab，除满足下面条件（1）当a=0的时候，nnbD；（2）当b=a时的时候，0nD,（n1）;（3）当(1)bna时，0nD，（1n），以下的十四种方法针对0a，ba，(1),bna的一般情况进行讨论第3页共20页二、n级行列式的定义n级行列式111212122213.....................nnnnnnaaaaaaaaa等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积12......111njjjaaa的代数和，这里12...njjj是1,2,……,n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当12...njjj是偶排列时，12......111njjjaaa带有正号，当12...njjj是奇排列时，12......111njjjaaa带有负号，这一定义可以写成：形如：1211211121(...)21222...13.........1...............(1)nnnnnnnnnjjjjnjjjjaaaaaaaaaaa称为行列式的定义计算，其中12...njjj表示对所有n阶行列式求和。定义表明：为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积，把构成这些乘积的元素按行指标排列成自然顺序，然后按列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。三、n级行列式的计算常用的几种计算方法如下：（一）化三角形法化三角形法：行列式通常的解法是将行列式化为上三角形或者下三角形，只是计算行列式最基本重要的方法之一。如上述行列式（*）：分析：因为任何行列式都可以用化三角形的方法进行计算：解：（1）：化三角形法之一：第4页共20页11(1)(1)(1)...(1)........................111...1...[(1)].....................111...100...0()[(00...0............0000...niibnabnabnabnaabaaaabaaaababaabnaaabaaaabbaabnbabaDrrrr11)][(1)];(2,...,;2,...,)()nabnainjnba（2）：化三角形法之二：n11...(1)...0...00...00(1).............................00...000...000...00...0ijbaaabnaaaaabbabaabbaabbabaDrrrr1((1));(2,...,;2,...,)()nbnainjnba；注：原则上，每个行列式都可以利用行列式的性质化为三角形行但是对于阶数较高的行列式，在一般情况之下，计算往往较复杂。因此，在许多情况之下，总是利用行列式的性质将其为某种保值变形，再将其化为三角形行列式，应用三角形的质，造出元素“0”是化三角形，对三角形行列式的关键，法计算一个n阶数字型行列式要做次乘，除法。当n较大时完全可以利用计算机编程进行计算。行列式的值就等于主对线的元素的乘积。（二）降阶法降阶法：n阶行列式它的任何一列（行）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和，其中ijA为ija的代数余子式（i表示行，j表示列）；行列式按一行一列展开能将高阶行列式转化为若干个较低阶行列式的计算。第5页共20页分析：降阶法就是按照行列式的定义进行计算的：解：如上述行列式（*）：11...00...00...000...00..............................0...(2)0...00...0(1)0...00njjiibabbabababaabaabbnaabababnaDrrrr111(1)(1)()((1))();(2,...,;2,...,)nnnbnaabbnaabinjn按最后一行展开注：这是一种计算具体行列式的常用方法，值得注意的是在计算时应先用行列式的性质将某行某列元素尽可能多的消成零，然后再展开，计算才为更简便，对一些特殊构造的行列式可以采用拉普拉斯定理降阶计算。（三）加边升阶法（加边法）升阶法：有些行列式适当的升高一阶反而易求其值，这种方法称为升阶法，又称加边法。分析：因为本文的行列式主对角线上的元素相同，同时，负对角线上的元素也是一样的，故而升高一阶反而容易求值：解：如上述行列式（*）：1(1)n=21...1...0...100...00...100...00...100...0....................................0...1000...riiiaaaaaaaabaaabarrabaababaaababaaaabbaD