勾股定理教学中的数学发现

勾股定理教学中的数学发现陈玉发郑州职业技术学院河南郑州450121摘要：勾股定理是中学数学中的一个重要内容．关于勾股定理的发现，数学史料中没有记载．很有可能勾股定理是利用归纳法发现的．勾股定理教学中蕴含着通过对数据的运算分析，发现数学规律的重要思想方法．这种思想方法也是现代科学研究的重要方法．我们应当在教学中渗透这种思想方法．关键词：勾股定理归纳法数据分析教学设计（作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月．工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士．从事数学教育研究．电子邮箱：[e-mail],电话：[phone]，邮编：450121）MathematicaldiscoverytotheteachingandlearningofthePythagoreantheoremChenyufa（Zhengzhouvocationaltechnicalcollege，HenanZhengzhou，450121，China）Abstract：Pythagoreantheoremisanimportantcontentofmiddleschoolmathematics.AboutthediscoveryofthePythagoreantheorem,thatisnorecordinmathematicshistory.ProbablythePythagoreantheoremwerefoundusinginduction.TheteachingofthePythagoreantheoremimpliesthatbytheoperationofdataanalysis,foundtheimportantthoughtmethodofmathematicallaws.Thiskindofthoughtmethodisimportantmethodofmodernscientificresearchtoo.Weshouldpenetratethethoughtmethodinthemathematicalteaching.Keywords:ThePythagoreantheorem,induction,Thedataanalysis,Theteachingdesign1.勾股定理的发现——归纳法勾股定理是数学中的一个非常重要的定理．在西方国家中，此定理以公元前6世纪希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯的名字命名，被称为毕达哥拉斯定理．有迹象表明，早在毕达哥拉斯之前至少一千年，人们就已经知道这条定理了【1】．关于这个定理是如何被发现和怎样“被证明”的，和在许多其他领域中一样，没有对这一发现的记载．在所有提到过的课本中，都是把它当做已知的．然而，关于“证明”倒是有迹可循【1】．据说，毕达哥拉斯发现勾股定理后，曾杀了一百头牛以示庆贺．如果仅仅是因为勾股定理所体现出来的和谐美，进一步佐证了“毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数”的原因，笔者认为，这个原因还不足以让毕达哥拉斯如此激动．很有可能是在勾股定理的探索发现过程中，他们经历了许多不为人知的痛苦历程．既然“勾股定理是如何发现的？”没有人知道答案，现有的关于勾股定理发现的文献也都源自猜测和传说．那么，勾股定理的发现，各种可能都有．笔者也不妨做一个猜测：勾股定理是毕达哥拉斯通过“量一量，算一算”，通过对所得数据进行运算、组合、整理、猜测、归纳而得到的．表1是笔者根据《义务教育课程标准试验教科书．数学》八年级上第三页图1-3【2】中的数据得到．表1直角三角形三边关系abc2a2b2c22ab222abc334.249917.9776180.0224222.82447.952480.047634591625250133.181910.1124100.1124122.23144.972950.0271233.584912.8164130.1836表1中的最后一列的数据应该是相等或者相差很小的，出现偏差的原因是因为测量误差造成的．也许是毕达哥拉斯通过很长时间的运算和分析，对直角三角形的三边的数据进行了多种计算和可能的组合，最终根据数据之间的关系，猜测到了直角三角形的三条边之间的关系．若干年后，开普勒也许是受到了勾股定理的发现过程的启示，对前人观测到的行星的运行数据，经过了20多年艰苦卓绝的运算和分析【4】，最终发现了行星运行的规律．开普勒毕生是一个狂热的毕达哥拉斯主义者，对数学的爱好、对自然界数的和谐的神秘感受，始终支配着他对天空奥秘的探索活动【3】．开普勒毕生致力于通过哲学的分析和繁复的计算来论证上帝创造宇宙的数量关系．他的目的似乎就是要在更高层次上确认毕达哥拉斯的信条——万物皆数．【1】表2是行星关于开普勒第三定律的数据【4】：表2行星关于开普勒第三定律的数据行星平均半径轨道轨道运动周期T（s）32rT（32ms）水星105.7861067.51310183.43210金星1010.811071.94110183.35210地球1014.951073.15410183.35810火星1022.781075.93710183.35410水星1077.7610737.3510183.37010土星10142.610792.9710183.35510表2中的最后一列并不是一个常数（开普勒第三定律又称周期定律，是指绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值是常数，即32rTc），这是由于测量的误差造成的．而表2的数据是利用现代科学技术测得的，要比开普勒时代面对的数据准确．由此可见，开普勒发现数据中隐藏的规律是多么的不易．开普勒所用的方法实质上就是归纳法．它不是简单的归纳，而是一方面需要对数据的各种运算及组合的结果进行归纳，另一方面，还要透过表面的现象，通过大胆的猜想，发现数据关系的实质．他需要的是一个人的坚定的信念和敏锐的洞察力．爱因斯坦对此更有深刻的评价：“开普勒的惊人成就，是证实下面这条真理的一个特别美妙的例子，这条真理是：知识不能单从经验中得出，而只能从理智的发明同观察到的事实两者的比较中得出【3】．”在现代社会，我们会从现实社会中获取更多的数据，对数据进行分析和处理，并从中提取有用的信息，是现代人应有的基本素质，也是我们在教学中应培养的学生的基本技能．那么在勾股定理的教学设计中，我们能否渗透这种理念呢？在“全日制义务教育数学课程标准（实验稿）”中，对勾股定理的教学和数据处理的要求如下：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能．对学生的探究能力有如下要求：在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法．在勾股定理的教学中，以上要求都可以得到体现．2.对勾股定理教学设计的一点建议关于勾股定理的教学设计，文献和网上有许多，《中学数学教学参考》（初中版）杂志2008年第8期专门开辟专栏《验证勾股定理》（一课时）课例大家评．由此可见勾股定理的教学设计被重视的程度．在这些教学设计中，基本上都是以勾股定理的探索和发现为重点，探索过程基本上是以直角三角形三边上的正方形的面积之间的关系来讨论【5】，很少有从直角三角形三边的关系来讨论的．．即使是从三边的数量关系来讨论，所用数据也都是勾股数组【6】．虽然文【5】解决了直角三角形三边上的正方形的面积的计算问题，但这种探索勾股定理的方法是从何而来？它缺乏必要的逻辑基础．在不知道直角三角形三边关系的前提下，你是否会想到用这种方法去探索直角三角形三边的关系呢？因此，笔者认为还是“量一量、算一算”显得直观，自然．对于勾股定理是如何发现的，在数学史料中没有明确的结论．通过开普勒发现行星运动的周期定律的过程，笔者有理由相信，勾股定理有可能是通过“量一量、算一算”发现的．“量一量、算一算”的发现过程，历时比较长，所以需要教师合理的启发和引导，通过数据的取得，运算，对比，经历观察、实验、猜想的过程体验，发展学生合情推理的能力．表1是笔者设计的一个方案．学生通过测量和计算，完成表格．通过对这个表格数据的讨论，归纳，猜想和交流，归纳出勾股定理．我们看到，表2中的最后一列是有误差的，在开普勒所处的时代，数据的误差会更大．这就需要数学家有敏锐的洞察力，敢于大胆地猜想，大胆地假设．“大胆地假设，小心地证明”是数学研究的基本方法之一．在教材的安排中，也是先探索、发现，然后安排几个典型的证明案例进行验证．在教学设计安排上，可以先出示表1，让学生完成数据的收集与整理，然后猜测结论，教师给予总结，当然，在实际教学中，教师如何利用素材，如何引导学生是关键．如果表1不是老师列出的，而是学生自己通过调整数据的关系，通过假设得出的，那么它的教学意义就更大了．在教学中，之所以教师们没按“量一量、算一算”的模式设计教学，一方面可能是因为他们不了解开普勒第三定律的发现过程，另一方面是因为许多人认为数学是精确的科学，根据表1的最后一列，得不到222abc．因此，从这个意义上说，数学教师知道一些数学史，不仅是必要的，而且是必需的，它对我们的教学设计的理念和教学指导思想都是有价值的．参考文献：【1】VICTORJKATZ著，李文林、邹建成等译．数学史通论（第二版）[M]．北京:高等教育出版社，2004.第24,27,320页．【2】马复．义务教育课程标准试验教科书数学（八年级上）[M]．北京:北京师范大学出版社，2006.5.【3】吴国盛．科学的历程[M]．北京:北京大学出版社，2002年10月．第321、325,326页．【4】马文蔚，柯景凤．物理学[M]．北京:高等教育出版社，1981.7，第181页．【5】刘瑞华.从“勾股定理”教学案例中反思数学教学原则[J]．中学数学教学参考，2009年第8期（中旬）．【6】赵峰，蔡建锋．“探索勾股定理”（第一课时）教学设计与评析[J]．中国数学教育，2009年第7—8期．