冀教版初三数学知识点

初三上册23章数据分析23.1平均数和加权平均数1、一般地，我们把n个数nxxx,...,,21的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作x，读作“x拔”，即)....(11nxxnx2、已知n个数nxxx,...,,21，若n为一组正数，则把nnn叫做n个数nxxx,...,,21的加权平均数，n分别叫做这n个数的权重，简称权。23.2中位数和众数1、一般地，将n个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。23.3方差设n个数据nxxx,...,,21的平均数为x，各个数据与平均数偏差的平方分别是22221)(,...,)(,)(xxxxxxn。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用2s表示，即222212)(...)()(1xxxxxxnsn当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。23.4用样本估计总体由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。24章一元二次方程24.1一元二次方程1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式为).0(02acbxax其中，2ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。一元二次方程的解也叫做这个方程的根。24.2解一元二次方程1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。2、对于一元二次方程02cbxax：当042acb时，方程有两个不相等的实数根；当042acb时，方程有两个相等的实数根；当042acb时，方程没有实数根。我们把acb42叫做一元二次方程02cbxax的根的判别式。3、当042acb时，一元二次方程02cbxax的两实数根可以用aacbbx242求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。24.3一元二次方程根与系数关系如果一元二次方程02cbxax的两根分别为21,xx，那么acxxabxx2121,。24.4一元二次方程的应用25章图形的相似25.1比例线段1、如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分别为m和n，我们就把m和n的比叫做线段a和b的比，记作nmba::，或nmba。2、在四条线段dcba,,,中，如果a与b的比等于c与d的比，即dcba，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。3、比例的基本性质如果dcba，那么bcad。如果bcad，那么dcba（0,db）特别地，如果cbba，即acb2，就把b叫做a,c的比例中项。如果knmdcba...，那么kndbmca......4、黄金分割在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足ACBCABAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，ABAC称为黄金比。黄金比618.0215ABAC每条线段上的黄金分割点都有两个。l3l2l1FEDCBA25.2平行线分线段成比例（1)基本事实两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB与DE、BC与EF、AC与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。DFEFACBCDFDEACABEFDEBCAB,,（2）推论1平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。ACCEABBDECAEDBADACAEABAD,,（3）推论2平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。在△ABC中，DE∥BC，BCDEACAEABADABCDEEDCBAEDCBA25.3相似三角形（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。25.4相似三角形的判定相似三角形的判定定理(1)两角对应相等的两个三角形相似。(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。(3)三条边对应成比例的两个三角形相似。(4)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。25.5相似三角形的性质相似三角形的性质定理（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。（2）相似三角形周长的比等于相似比。（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。25.6相似三角形的应用25.7相似多边形和图形的位似（1）形状相同的图形称为相似图形。一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。（3）位似图形的画法确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）；选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线；根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点；④顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。26章解直角三角形26.1锐角三角函数1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即batan的邻边的对边AAA∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即casin斜边的对边AA∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cbcos斜边的邻边AA2、一些特殊角的三角函数值30°45°60°sinα122232cosα322212tanα33133、在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的比值也会发生相应的变化。我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数。为方便起见，今后将222tan,cos,sin分别记作222tan,cos,sin。26.2锐角三角函数的计算26.3解直角三角形1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。2、在Rt△ABC中，∠C=90°三边之间的关系是222cba；两锐角之间的关系是90BA；边角之间的关系是casin斜边的对边AAcbcos斜边的邻边AAbatan的邻边的对边AAA在边角之间的关系中，将∠A换成∠B，同时将a,b交换，即可得到∠B与边之间的关系式。根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素。26.4解直角三角形的应用我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比lh叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角。显然，lhtan27章反比例函数27.1反比例函数一般地，如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成)0(kkxky为常数，且的形式，那么称y为x的反比例函数，k称为比例系数，自变量x的取值范围是不等于0的实数。27.2反比例函数的图像和性质反比例函数)0(kkxky为常数，且的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线。对于反比例函数xky，当k0时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小；当k0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大。27.3反比例函数的应用28章圆28.1圆的概念及性质（1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径。（2）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（3）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。过圆心的弦叫做这个圆的直径。（4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆。（5）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。（6）能够完全重合的两个圆叫做等圆。能够完全重合的两条弧叫做等弧。28.2过三点的圆（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。（2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。28.3圆心角和圆周角（1)顶点在圆心的的角叫做圆心角。圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。（3)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。（4)顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。（5)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。（6）直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。（7）同弧所对的圆周角相等。（8）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。（9）圆内接四边形的对角互补。28.4垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。28.5弧长和扇形面积的计算（1）计算公式设n圆心角所对弧的长为l，所对扇形的面积为S，则180rnl，3602rnS或lrS21（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高。（3）将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长等于圆锥的母线长。反过来，扇形也可以围成一个圆锥。29章直线与圆的位置关系1、在同一个平面内，点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内。设圆O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：（1）点P在圆外，dr（2）点P在圆上，d=r（3）点P在圆内，dr2、直线与圆的位置关系一条直线与一个圆的位置关系，根据它们公共点的个数可分为三种情况：两个公共点、一个公共点、没有公共点。当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线；当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。3、切线的性质和判定（1）圆的切线垂直于过切点的半径。（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。4、切线长定理（1）过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等。（2）与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆，称这个