旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学

高中版高中版2015年2月数坛在线教育纵横数坛在线名室荟萃“椭圆的标准方程”是解析几何中圆锥曲线的起始课，多次被选为国家、省、市评优课的课题.新教材的设计思路遵循了椭圆发展的历史：公元前3世纪，阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262年～约公元前190年）在《圆锥曲线论》中采用平面截对顶的圆锥得到椭圆，并由多个命题导出椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质.17世纪荷兰数学家舒腾（F.van.Schooten，1615~1660）利用椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质，给出椭圆的画法.直到1822年比利时数学家旦德林（G．P.Dandelin，1794～1847）利用双球模型总结出椭圆的定义［1］.新教材中第二节课才是椭圆的标准方程，但在实际教学中（包括国家、省、市评优课），由于大部分老师不习惯新教材的设计思路，往往还是沿袭旧教材的做法，把椭圆的标准方程和椭圆的定义安排在一节课上，报刊上发表的有关文章大多也是把二者放在一起.下面就谈一谈按照新教材的设计思路，旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学的几点体会，以飨读者.一、形成认知冲突，驱动探求欲望17世纪荷兰数学家舒腾的椭圆的画法（基于两个焦半径之和等于常数）是在把圆压扁变成“椭圆”之后总结出来的，教师用几何画板再现这一历史过程，直观地可以看出圆压扁后的曲线上任一点到两个定点F1、F2的距离的和始终等于同一个常数（大于|F1F2|），根据椭圆的定义，圆压扁后的曲线应当是椭圆，但这只是几何直观验证，有失严谨性，需要从代数意义上的严格证明，那么又如何证明呢？现有的知识解决不了，这就引起认知冲突，驱动学生进一步探求的欲望，引导学生用代数的方法研究几何问题，这恰恰是解析几何的本质特征！联想类比圆的研究过程，为了研究圆的性质，就要建立圆的方程，而圆的方程实际上就是圆上任一点的坐标（x，y）中x、y的关系，又因为坐标是存在于坐标系中的，所以首先要建立坐标系.于是求曲线方程的一般步骤就自然浮出水面：建系设点列式化简证明然后按照上述步骤推导椭圆的标准方程，直入本节的重点与难点.二、教学中“突兀点”的处理数学教学追求合理顺畅.数学概念的合理性、数学公式的来龙去脉、为什么要引入某个参数、怎样引入才不显“突兀”、怎样引入才顺接学生认知的“最近发展区”等这些问题都值得我们注意.一方面，通过计算机模拟将圆压扁成椭圆的演示（如图1，圆心一分为二，两条重叠的半径MF分裂成两条焦半径MF1、MF2），为学生推导椭圆方程中2a的引入作了认识上的准备，这要比教材中直接设出|MF1|+|MF2|=2a要自然的多，避免了这个“突兀点”.另一方面，如图2，当点M运动到椭圆的上顶点时，在Rt△MOF2中|MF2|=a，|OF2|=c，所以a2-c2=|OM|2，令b2=a2-c2，这里引入参数b简化了计算，更重要的是参数b具有确切的几何意义：线段OM的长（椭圆的中心到上顶点的距离）.这样的教学就比较合理顺畅，不显得突兀.三、努力提炼数学思想方法通过引导学生参与探索活动，帮助学生提炼和应用数学知识本身所隐含的数学思想方法.1.转化与化归思想将|MF1|+|MF2|=2a坐标化为（x+c）2+y2摇姨+（x-c）2+y2摇姨=2a，是几何形式向代数形式的转化；将（x+c）2+y2摇姨+（x-c）2+y2摇姨=2a化成椭圆的标准方程是化·江苏省无锡市吴宝莹数学名师工作室·旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学筅江苏省锡山高级中学吴宝莹yxMF2baF1Oc图2FMF1F2M图169高中版高中版2015年2月数坛在线名室荟萃教学参谋解法探究繁为简的过程，就是转化与化归思想的应用.2.数形结合思想通过探求椭圆的标准方程，从代数层面上严谨证明“圆压扁变成的曲线是椭圆”是典型的“以数解形”，即几何问题代数化.比如，第一次平方后，从a2-cx=a（x-c）2+y2摇姨到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）的等价性，是因为M（x，y）是椭圆上任一点，从图形上看x≤a，又ca，从而cxa2，a2-cx0，所以第二次两边平方后是等价的，这也为说明以方程x2a2+y2b2=1的解（x，y）为坐标的点都在椭圆上扫除了知识障碍.再者，a2-cx=a（x-c）2+y2摇姨变形为（x-c）2+y2摇姨a2c-x=ca，其几何意义是椭圆上任意一点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一个常数［2］，这就是以后要学习的“椭圆的第二定义”，前后贯通，为今后的教学埋下伏笔，同时也解决了“椭圆的第二定义”的突兀.这些都是数形结合的另一方面———“以形助数”.3.分类讨论思想教材例2的变式：若一个椭圆经过（2，0）、3摇姨，122$两点，求该椭圆的标准方程.不能确定焦点的位置，不妨就分焦点在x、y轴上两种情况讨论，是很自然的想法，也是很好的方法.当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（ab0）.由题意可知4a2=1，3a2+14b2=11’’’’’&’’’’’(，则a2=4，b2=11，所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.同理可判断焦点在y轴上时不符合题意.这里用到的就是分类讨论的思想，当然教师还可以引导学生分析引起讨论的原因，为了避免讨论，可设成x2和y2项的分母不分大小的椭圆的方程，即x2m2+y2n2=1（m0，n0，m≠n），甚至进一步设椭圆的方程为px2+qy2=1（p0，q0，p≠q），这样就有一定的灵活性，避免了讨论，大大简化了解题过程，很好地体现了数学的简洁之美，同时培养了学生精益求精的良好行为习惯.4.方程的思想实际上，上述分类讨论中用到的待定系数法就是方程思想的应用.另外引导学生在（x+c）2+y2摇姨+（x-c）2+y2摇姨=2a两边同乘以有理化因子（x+c）2+y2摇姨-（x-c）2+y2摇姨［3］得到（x+c）2+y2摇姨-（x-c）2+y2摇姨=2cxa，把（x-c）2+y2摇姨和（x+c）2+y2摇姨看作两个未知数，通过解方程（组），解出其中一个，再平方化简得到椭圆的标准方程，也是方程思想的应用.数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，在数学课堂教学中，有意识地提炼和运用数学思想方法，值得每一位数学教师认真关注.四、注意发展学生的数学理性思维数学是思维的体操，这里的思维主要指理性思维.一般认为，数学理性思维主要包括三个方面.（1）从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题（存在性、唯一性、不变性、充要性）；（2）运用归纳抽象、演绎证明、运算求解、空间想象、直觉猜想等思维方式分析和思考问题；（3）运用数学语言进行表述和交流.其一，上文中提到的“以数解形”与“以形助数”就是从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题的具体体现.其二，整个标准方程的推导化简过程，既是归纳抽象，又是演绎推理.尤其在教学时不拘泥于教材中的椭圆标准方程的推导方法，上述有理化的方法，以及把（x+c）2+y2摇姨+（x-c）2+y2摇姨=2a看成（x+c）2+y2摇姨，a，（x-c）2+y2摇姨成等差数列，设（x+c）2+y2摇姨=a-d，（x-c）2+y2摇姨=a+d1，经整体处理，消去参量d后，可得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.这些教学处理方法很好地培养了学生思维的灵活性与发散性.“第一次平方后，从a2-cx=a（x-c）2+y2摇姨到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）等价吗？为什么？”“椭圆上的点的坐标都满足方程x2a2+y2b2=1吗？反之，以方程x2a2+y2b2=1的解（x，y）为坐标的点都在椭圆上吗？”“a2-cx=a（x-c）2+y2摇姨变形后有什么几何意义？”等这些追问与思考，无不体现了数学理性思维的严谨性与深刻性.其三，围绕标准方程的推导展开的师生、生生之间的对话，显然是数学语言的表述和交流.所有这些，都体现了对数学理性思维的要求.五、努力体现数学的文化价值数学作为文化的一部分，其最根本的特征是：它表达了一种勇于探索的精神.这种探索精神，将不断促进70高中版高中版2015年2月数坛在线名室荟萃教学参谋解法探究探寻高中数学解题中的“灵感”筅江苏省泗洪中学穆婷婷解题教学是高中数学课程教学的重要组成部分之一，在进行数学解题的过程中，能够有效地理解和深化数学基本知识，熟练掌握处理问题的基本技能.可以说解题是直接了解学生学习情况的一个窗口.新课改实施以来，越来越注重学生解题能力的提升.如何实现高效解题是一线教师探究的永恒话题.从心理学角度来看，思维可以比作解题活动，最有效的解题策略是在思维中形成的，思维的创造性特征离不开灵感，灵感在高中数学解题中起到举足轻重的作用.笔者从自身教学实践出发，在本文中重点阐述如何引导学生获取解题中的灵感，从而提升学生有效解题的能力，提高课堂教学的效益.一、以问题为开端，创设合理情境，探寻数学解题“灵感”教育心理学理论表明：问题是思维的出发点和推动学生能力发展的添加剂，问题情境的创设能够有效激发学生求知的好奇心，进而形成合理的思维动向，在新的情境中获取“灵感”，实现疑难问题的合理转化.例1已知方程组k（x4+1）+|x|-y=1，x2-y2=--1存在唯一的实数解，试求实数k的取值范围.解析：根据题设中方程组的特征，若（x0，y0）满足该方程组，则（-x0，y0）也能满足此方程组.由于题中方程组有唯一的实数解，则x0=0.令（0，y0）为方程组唯一的实数解，则k（04+1）-y0=1，0-y20=-1-，即k=2，y0=1-，或k=0，y0=-1-.将k=0代入原方程组，可得到三组解，不符合题意；将k=2代入原方程组，可得唯一的一组解x=0，y=1-，则k=2.人类的思想解放，使人成为更完全、更丰富、更有力量的人.为此，中学数学教学必须充分发掘数学的文化教育功能.这节课通过引导学生推导标准方程，努力促使教学、学习、研究三者同步协调和谐发展.这一过程对初学椭圆的学生来说有一定的困难，但是经过自己不畏困难的努力与探索欣赏到数学的和谐之美、简洁之美，可以帮助学生体会追求真理的艰辛以及成功后的愉悦，以此培养学生的探索精神，逐步形成良好的个性品质，而这正是数学文化价值的真谛.新课程的一个鲜明特点是以学生的发展为本，关注学生思维的最近发展区，注重知识的发生、发展过程的揭示，倡导通过学生参与，自主探究，发现知识，习得知识，重在学生潜能的开发、创新意识和探索发现能力的培养.本节课在这方面作了有益的探索.这节课的教学内容是在学生拥有了圆的方程等知识的基础上进行研究的，类比圆的方程的建立过程，探求椭圆的标准方程，这是对学生思维最近发展区的有意关注.另外，整节课以“再现定义—亲身感知—动手推导—简单应用”为主线将问题逐一展开.椭圆标准方程的推导由学生自行完成，课堂小结由师生共同完善，这既是对学习主体的充分尊重，使学生获得亲历知识生长发展的体验，又是培养学生自我参与意识和探索发现能力、开发学生潜能的有效方式.诚然，在数学教学中获得结果，特别是获得准确的结果是重要的，但从某种意义上说，让学生经历和体验获取知识的过程要比获得结果更重要.这是因为这种获取知识的过程，不仅是知识生长、发展的动态延伸，更是开启智慧、发展智力、培养潜能、提高素质的源泉.正如一次旅行，不必太在意目的地，重要的是不要错过沿途的风景！参考文献：1.陈锋，王芳.基于旦德林双球模型的椭圆定义教学［J］.数学教学，2012（4）.2.贾士代.推导椭圆标准方程的几点体会［J］.中学数学，1984（11）.3.胡挺员.椭圆及其标准方程［J］.中学数学，1999（8）.Y71旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学作者：吴宝莹作者单位：筅江苏省锡山高级中学刊名：中学数学英文刊名：MiddleSchoolMathematics年，卷(期)：2015(3)引用本文格式：吴宝莹旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学[期刊论文]-中学数学2015(3)