北外网络教育《微积分》模拟卷01及参考答案

微积分第1页共6页“微积分”课程终结考试模拟题课程编号：BWME2009学籍号：____________________学习中心：_________________姓名：____________________注意事项：1、本试卷满分100分，考试时间120分钟；2、本试卷为闭卷考试，请将答案一律写在答题纸上。一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．函数24xxf)(有界且单调增加的区间是（）．A．),(22B．),(02C．)2,0(D．),(22．当0x时，xxsin2是关于x的（）．A．高阶无穷小量B．低阶无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．等价无穷小量3．在],[11上满足罗尔定理的函数是（）．A．2xeyB．32xyC．211xyD．xxysin4．下列等式中正确的是（）．A．Cxfdxxf)(])([B．)()(xfxdfC．)(])([xfdxxfdD．Cxfdxxf)()(5．由曲线21xy与直线xy，y轴所围平面图形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积等于（）．A．dxxx222021)(B．dxxx222021)(C．dxxx])[(2222021D．dxxx])([2222201二、填空题（每小题4分，共28分）1．若kxxex201)(lim，则k_____．2．设函数0021xaxxexfx,,)(在点0x连续，则a_____．微积分第2页共6页3．曲线xxey2的拐点坐标是_____________．4．设yxez，则yxz2____________________________．5．dxxxx1123)cos(_____．6．更换积分次序，dxyxfdyyy10),(____________________________．7．微分方程yxedxdy满足初始条件01)(y的特解是__________________________．三、解答题（共52分）1．（本题5分）求极限.arctanlim200xtdtxx2．（本题7分）求曲线)sin(xyeeyx在),(00点的切线方程．3．（本题7分）设函数),(yxzz由方程xyzzsin确定，求dz．4．（本题7分）求微分方程xyxy1的通解．5．（本题8分）求函数xxxf2332)(在],[21上的最大值和最小值．6．（本题9分）计算.dxex107．（本题9分）计算dxdyyxD22sin，其中22224yxyxD),(．“微积分”课程终结考试模拟题答案一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．选B.分析：A不正确，因为当),(22x时，24xxf)(有界非单调．C不正确，因为当),(20x时，24xxf)(有界但单调减少．D不正确．因为当),(2x时，24xxf)(单调增加但无界．2．选D.分析：根据无穷小量阶的比较的概念，只需计算比的极限．110020)sin(limsinlimxxxxxxxx3．选A.微积分第3页共6页分析：B中函数32xy是初等函数，在[-1,1]有定义，从而连续，但332xy在0x不存在，故32xy不满足定理的第二个条件．C中函数211xy在1x与1x处无定义，故它在]1,1[不连续，不满足定理的第一个条件．D中函数xxysin在点)1,1(0x间断，故不满足定理的第一个条件．A中函数2xey是初等函数，定义域为),(，故在]1,1[上连续，22xxey在)1,1(存在，在)1,1(可导，而且2xey在1x与1x的值相等，因此2xey在]1,1[上满足罗尔定理．4．选D.分析：由不定积分的性质可知：)(])([xfdxxf，故A不正确，同理应有Cxfxdf)()(，dxxfdxxfd)(])([，故B和C都不正确。5.选C.分析：根据旋转体体积的计算公式，曲边梯形)(,),(xfybxayxD0绕x轴旋转一周的旋转体体积dxxfVba)]([2，本题中所给D不是以],[220为底的曲边梯形，而是曲边梯形210220xyxyxD,),(中除去曲边梯形xyxyxD0220,),(的部分，故所求为两旋转体体积之差，因此应该为平方之差，而不是差的平方，所以A，B不对，由题意知，当,220x有21xx，所以应为221)(x与2x之差，即选C正确．二、填空题（每小题4分，共28分）1．填2分析：22102011exxxxxx)()]([lim)(lim，由kee2，得：2k2．填21分析：要使函数)(xf在0x处连续，必须满足)()(lim00fxfx，即afxexfxxx)(lim)(lim0212100。3．填),(211e分析：根据判定拐点的必要条件和充分条件，应求出二阶导数．xxxexxeey222212)(xxxexexey222142122)()(微积分第4页共6页令0y，由01x，得.1x又当1x时，0y；1x时，0y，所以曲线上横坐标为1的点为拐点，将1x代入曲线方程xxey2中，得21ey，故拐点坐标为),(211e．4．填yxeyxy)(31分析：根据高阶偏导法则，先计算yxeyxz1则.)()(yxyxyxyxeyxyyeyeyxeyyyxz3222115．填32分析：根据奇函数在对称区间上的定积分为零，有322102112123dxxdxxdxxxx1)cos(。6．填dyyxfdxxx102),(分析：由已知二次积分知：10y，yxy，从而dxdyyxfD),(的积分区域如上图中阴影所示，更换积分次序时，将D表为：10x，xyx2，所以dyyxfdxdxyxfdyxxyy10102),(),(7．填)ln(eeyx1分析：所给方程为变量可分离方程，分离变量，有dxedyexy两边积分：dxedyexyCeexy11xy0微积分第5页共6页由初始条件01)(y，知Ce1，将eC1代回，得eeexy1，即).ln(eeyx1三、解答题（共52分）1．（本题5分）解：.limarctanlimarctanlim212112200200xxxxtdtxxxx2．（本题7分）解：方程)sin(xyeeyx两边同时对x求导，可得))(cos(yxyxyyeeyx化简可得yxexyxxyyeycoscos100000000eeycoscos),(故曲线)sin(xyeeyx在),(00点的切线方程为)(010xy即xy.3．（本题7分）解：设xyzzzyxFsin),,(,yzFx，,xzFy,cosxyzFzxyzyzFFxzzxcos；xyzxzFFyzzycos;所以dyxyzxzdxxyzyzdzcoscos.4．（本题7分）解：由题意知，,)(xxP1xxQ)(，则)()())(()()()()(CxxCdxxeeCdxexQeydxxdxxdxxPdxxP11所以原方程通解为：.Cxxy25．（本题8分）解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222xxxxf因此xxxf2332)(在),(21内有不可导点01x和唯一的驻点12x，比较下列值：044325111003)(,)(,)(,)(ffff故xxxf2332)(在],[21上的最大值为,)(51f最小值为00)(f.6．（本题9分）解：令,xt则,,tdtdxtx22且x从10时，t从10.eeedtetetdetdtedxetttttx4212222101010101010)()(7．（本题9分）微积分第6页共6页解：积分区域D的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下220rrD,),(dxdyyxD22sindrdrrDsin220rdrrdsin=.)cos(sin2262rrr