北师大版九年级数学三角函数例题解析(精)

（1998•台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）A．32B．1C．13D．23考点：锐角三角函数的定义；三角形中位线定理．分析：若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．解答：解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中点，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，∴tanA=BCAC=3x2x=32，故选A．点评：此题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．（2009•益阳）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：利用所给的角的余弦值求解即可．解答：解：∵BC=5米，∠CBA=∠α．∴AB=BCcosα=5cosα．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．（（2008•武汉）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A．250mB．2503mC．50033mD．2502m考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：由已知可得，∠AOB=30°，OA=500m，根据三角函数定义即可求得AB的长．解答：解：由已知得，∠AOB=30°，OA=500m．则AB=12OA=250m．故选A．点评：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．（2007•株洲）下列运算中，错误的是（）A．π0=1B．2-1=12C．sin30°=12D．8=32考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：A、正确，符合零指数幂的运算法则；B、正确，符合负整数指数幂的运算法则；C、正确，符合特殊角的三角函数值；D、错误，8=22．故选D．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．（2004•广东）下列各式中，运算结果错误的是（）A．（-1）3+（-3.14）0+2-1=12B．sin30°=12C．(-4)2=-4D．a2•a3=a5考点：特殊角的三角函数值；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂．分析：根据乘方、0指数幂、负指数幂的运算法则逐一分析解答．解答：解：A、（-1）3+（-3.14）0+2-1=-1+1+12=12．正确；B、正确；C、(-4)2=4，不等于-4故错误；D、正确．故选C．点评：解答此题注意：一个数的算术平方根是非负数．（2001•泰州）下列实数π2，sin30°，0.1414，93中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：特殊角的三角函数值；无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．解答：解：∵π2是无限不循环小数，∴它是无理数，∵93是开方开不尽的数，∴它是无理数．其它的数都是有理数．因此有2个无理数．故选B．点评：本题容易出现的错误是把数π2看成分数，分数是AB的形式，其中A、B是整数．π2是无理数而不是分数．要注意灵活运用三角函数值．直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为12，则k的值为（）A．12B．2C．±2D．±12考点：待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．分析：首先确定直线y=kx-4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为12这一条件求出k的值．解答：解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，-4），即直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的邻边为|-4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=4k，∵直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为12，即|4k|=4×12，k=±2．故选C．点评：此题比较复杂，涉及到锐角三角函数，在解题时要注意k的正负．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（）A．34B．43C．73D．34或73考点：锐角三角函数的定义．分析：先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值．解答：解：当两条边长为3和4是直角边时，则较小锐角的正切值=34；当3是直角边，4是斜边时，另一条边=42-32=7，则较小锐角的正切值=73．故选D．点评：此题首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和锐角三角函数的概念解题．本题注意第三边可能是直角边，也可能是斜边．下列说法正确的是（）A．在Rt△ABC中，若tanA=34，则a=3，b=4B．在△ABC中，若a=3，b=4，则tanA=15C．在Rt△ABC中，∠C=90°，则sin2A+sin2B=1D．tan75°=tan（45°+30°）=tan45°+tan30°=1+33考点：锐角三角函数的定义．分析：根据三角函数的定义及相关角的三角函数之间的关系综合解答．解答：解：在Rt△ABC中，若tanA=34，则a=3x，b=4x，x≠0，故A错误，在△ABC中，若a=3，b=4，则tanA=15，没有说明三角形的形状，故B错误，在Rt△ABC中，∠C=90°，则sin2A+sin2B=1，sinB=cosA，故C正确，tan75°=tan（45°+30°）=1+331-33=3+232，故D错误，故选C．点评：本题主要考查锐角三角函数的定义，比较简单．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD，则tan∠DAC的值为（）A．233B．3+33C．4+313D．22+13考点：锐角三角函数的定义．分析：欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中．过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的知，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值．解答：解：如图，过C作CE⊥AD于E．∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°，∴BD=DC，设CD=BD=1，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2．在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1，则CE=12，DE=32．∴tan∠DAC=CEAE=122-32=4+313．故选C．点评：本题主要考查的是解直角三角形，正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解题的关键．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2-3x+1=0的两根，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点：锐角三角函数的定义；解一元二次方程-因式分解法．分析：先解出方程的两根，讨论sinα，tanβ的值．∵在三角形中，角的范围是（0，180°），∴sinα必大于0，此时只要考虑tanβ的值即可，若tanβ＞0，则β为锐角；tanβ小于0，则β为钝角．再把x的两个值分别代入sinα，tanβ中，可求出α，β的值，从而判断△ABC的形状．解答：解：由2x2-3x+1=0得：（2x-1）（x-1）=0，∴x=12或x=1．∴sinα＞0，tanβ＞0若sinα=12，tanβ=1，则α=30°，β=45°，γ=180°-30°-45°=105°，∴△ABC为钝角三角形．若sinα=1，tanβ=12，则α=90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．故选B．点评：本题易在α，β上的取值出错，学生常常解出方程的两根后不知道如何判断，因此在解答时我们可对x的值分类讨论，从而判断出△ABC的形状．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．1010B．21010C．32D．22考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：要求cos∠AOB的值，连接AD，CD，根据勾股定理可以得到OD=AD，则OC是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．解答：解：连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：OD=AD=10，OC=AC=5，∠OCD=90°．则cos∠AOB=OCOD=510=22．故选D．在△ABC中，∠C=90°，给出下列式子，①a=ctanA；②b=cSinB；③b=cCosA；④a=btanA；⑤c=btanB，其中能成立的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：锐角三角函数的定义．分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA=ab，sinB=bc，cosA=bc，tanA=ab，tanB=ba．∴a=btanA，b=csinB，b=ccosA，a=btanA，b=atanB．∴②③④成立，故选B．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是（）A．23B．38C．43D．23或38考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：计算题．分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：有两种情况：①当等边三角形的底边为6，腰为8时，cosB=38；②当等边三角形的底边为8，腰为6时，cosB=46=23；故选D．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．在三角形ABC中∠A，∠B是锐角，等式acosB+bcosA=c成立的条件是（）A．∠C是锐角B．∠C是直角C．∠C是钝角D．上述三种情形都可以考点：锐角三角函数的定义．分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：过点C作CD⊥AB于点D，∴在Rt△ADC和在Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴cosA=ADb，cosB=BDa，∴acosB+bcosA=AD+BD=c．故选D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边△ABC中，∠C=90°，且c=3b，则cosA=（）A．23B．223C．13D．103考点：锐角三角函数的定义．分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，且c=3b，∴cosA=bc=b3b=13．故选C．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．12B．22C．32D．33考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．专题：常规题型．分析：找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦=邻边斜边计算即可得解．解答：解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，根据勾股定理，AO=22+42=25，AC=12+32=10，OC=12+32=10，所以，AO2=AC2+OC2=20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB=OCAO=1025=22．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格点C并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．正比例函数y=kx的