几何变换4----轴对称变换

几何变换-轴对称变换提高题【知识提要】1.如果已知平面上直线l和一点A，自点A作l的垂线，垂足设为H，在直线AH上、l的另一侧取点A，使得AHAH，如图所示，我们称点A是点A关于直线l的轴对称点，或者说点A与点A关于直线l为轴对称，其中l称为对称轴.2.图形F的每一点关于直线l的对称点组成的图形F，称为F关于轴l的轴对称图形.把一个图形变为关于直线l的轴对称图形的变换，叫作轴对称变换(或反射变换)，直线l称为对称轴(反射轴).3.我们容易想到，一条线段AA关于它的垂直平分线为轴对称图形，一个角AOA关于它的角平分线为轴对称图形.在几何证题或解题时，如果图形是轴对称图形，则经常要添加对称轴以便充分利用轴对称图形的性质；如果图形不是轴对称图形，往往可选择某直线为对称轴，补为轴对称图形，或将对称轴一侧的图形反射到该直线的另一侧，以实现条件的相对集中.4.在几何问题中有两种常用而比较普遍的对称图形，它们是轴对称图形和中心对称图形.利用对称性解题是解决几何问题的有效方法之一，本讲重点讲解轴对称图形.(1)轴对称变换：把一个图形变为关于某一直线为对称轴的轴对称图形，这种变换称为轴对称变换.在几何图形中，如果是轴对称图形，则常添加对称轴，以充分利用对称的性质.如等腰三角形、等腰梯形的对称轴可以应用三线合一等；对于正方形、菱形，经常添加对角线等.(2)中心对称变换：把一个图形绕着一个定点按一定方向、一个角度旋转而得到另一个图形，这种变换称为旋转变换.特殊地，当旋转角为180时，称为中心对称变换.平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.在对称变换下，可使某些相关元素相对集中，为充分运用已知条件、转化结论提供方便.【例题精讲】【例1】在ABC中，由A点向BC边引高线，垂足D落在BC上，如果2CB，求证：ACCDBD.lA'AHABCDC1ABCD【解法1】如图所示，以AD为对称轴翻折ADC到1ADC的位置，则1C在BD上，1ACAC，1CDCD，12ACDACDB.在1ABC中，根据外角定理可知11ABCBAC，所以11ACBC，故1111ACCDACCDBCCDBD.【解法2】以AD为对称轴翻折ABD到AED的位置，则12AEDABDACB，从而CACE.进而ACCDCECDDE，而DEBD(由“翻折”的特点决定)，故ACCDBD.【解法3】回顾一下我们在第10讲中所学的知识，可知2()cbab，即22cbab.注意到2222222()2cbBDCDaxxaax，故22aaxab，即2axb，亦即axbx，故BDACCD.【点评】题设中的2CB给了我们太多的联想！我们不妨回忆一下第4讲、第5讲、第10讲，看看是否还有其他解法(比如延长AC至E，使CECD).【例2】如图所示，在四边形ABCD中，BCCD，60BCAACD，求证：ADCDAB.ABCDEDCBAD'DCBAa-xxcbDCBA【解析】注意到60BCAACD，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出60角.以AC为对称轴将DAC翻折到'DAC的位置，连接'BD.则'CDCDBC，''60BCDBCAACDBCAACD，故'DBC为等边三角形.从而''ADCDADDBAB，等号成立时AC平分BAD.【变式】(第3届英国数学奥林匹克竞赛试题)如图所示，在ABC中，ABAC，BE、CF为ABC的两条高，求证：ABCFACBE.【解法1】将改写ABCFACBE为ABACBECF，可形成下面的思路：BAC的平分线记为l，作点C关于l的对称点'C，作点F关于l的对称点'F，过点'C作BE的垂线'CD，因为'ABACBC，''BECFBECFBD，而'BCBD，故ABCFACBE.【解法2】我们用“分析法”寻求思路：ABCFACBE22()()ABCFACBE222222ABCFABCFACBEACBE.注意到224ABCABCFACBES，222ABAEBE，222ACAFCF，故22ABCFACBEAEAFAEAF.而由ABEACF∽、ABACAEAF.【例3】如图所示，在四边形ABCD中，30AB，48AD，14BC，40CD，90ABDBDC，求四边形ABCD的面积.48401430A'ABCDl48401430ABCDEFCBAlDC'F'EFCBA【解析】直接计算四边形ABCD的面积有困难，注意到90ABDBDC，我们以BD的垂直平分线l为对称轴，作ABD的关于l的轴对称图形'ADB，从而可以将角度集中.1ABDADBSS，'30ADAB，'48ABAD，'ADBABD，所以''ADCADBBDC90ABDBDC，因此，'ADC是直角三角形.由勾股定理求得22'304050AC.在'ABC中，'50AC，'48AB，14BC.而2222'1448BCAB196230425002250'AC.由勾股定理的逆定理可知'90ABC.'ABCDABCDSS''ABCADCSS11''22ABBCADCD114814304022336600936.【变式】在凸四边形ABCD中，105ADBABC,75CBD.如果15ABCD厘米，求四边形ABCD的面积.【解析】如图所示，以BD边上的中垂线为对称轴作DBC的轴对称图形1BDC，则1DBCBDCSS，175CDBCBD，110575180ADBCDB，故A、D、1C共线.ABCDABCDC1又因为1057530ABDABCCBD，由ABD可知1801053045A，而115CBCDAB，故145CA.因此190ABC，1ABC是等腰直角三角形.故111515112.52ABCDABCSS.【例4】(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题)已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且120AMD,证明：12ABBCCDAD.【解析】显然，要证题设的不等式，应当把AB，12BC，CD三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段AD比较.要实现这一构想，折线之首端应与A点重合，尾端应与D点重合，这可由轴对称来实现.以AM为对称轴，作点B关于AM的对称点1B，连接1AB、1MB，则1ABAB，1MBMB，即1ABM≌ABM，由此1BMABMA.B1ABCDMC1ABCDM再以DM为对称轴，作点C关于DM的对称点1C，连接1DC、1MC，则1DCDC，1MCMC，即1DCM≌DCM，由此1CMDCMD.而120AMD，所以18018012060BMACMDAMD.注意到1160BMACMDBMACMD，因此1111120()BMCBMACMD1206060，而1112MBMCBC，所以11BMC是等边三角形，1112BCBC.由于两点之间以直线段为最短，所以1111ABBCCDAD，即12ABBCCDAD.【变式】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题)设M是凸四边形ABCD的边BC的中点，135AMD，求证：22ABBCCDAD.【解析】作点B关于AM的对称点'B，作点C关于DM的对称点'C，连接'AB、''BC、'CD，则''MBMBMCMC，且'ABAB，'CDCD.而''90CMB，则2''2'2BCMBBC，故2''''2ABBCCDABBCCDAD.MDCBAC'B'MDCBA【例5】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题)如图所示，在ABC中，A的平分线交BC于点D，已知2BDDCAD，且45ADB，求ABC的各个内角.【解析】AD是角平分线提示我们可以进行“翻折”.将点C翻折到'C的位置，且'C在AB的延长线上，且'ACAC，'DCDC，'DCDC=.延长CB至点E，使EDDC，则2BDEDAD，故EBADDAC，从而222ACEDDCDC，则2'ACDCCC，故'ACC为等边三角形.故60BAC，15ACB.【变式】如图所示，已知在ABC中，6AB，3AC，120BAC，BAC的平分线交BC于D，求AD之长.【解法1】由于AD平分BAC，因此这就提供了以AD为轴进行对称变换的可能性.取AB的中点C，连接CC，交AD于O，易知AOC与AOC关于AD对称，且AOCC.由于30ACO，3AC，所以32AO.延长AC至B，使6AB，连接BB交AD的延长线于点E.CBADC'CBAOEDB'EC'45DCBA45DCBA显然ABE和ABE关于AE对称，且AEBB.由于OC是AEB的中位线，所以32AOOE，1122OCEBBE.因为OCODBEDE，所以12ODDE.所以332OD，12OD.于是31222ADAOOD.【解法2】回顾一下我们学过的第9讲例3之“变式2”：如图所示，在ABC中，120BAC，AD平分BAC且交BC于点D，求证：111ADABAC.直接应用此结论可得11163AD，即2AD.下面的题目作为备用题：【备选1】如图所示，在ABC中，2ACBABC，P为三角形内一点，APAC，PBPC，求证：3BACBAP.PCBAPCBAMA'DCBA【解析】由已知条件PBPC，考虑作直线PMBC于M，并以PM为对称轴将APC翻折至APB的位置，连接AA.由轴对称的性质有//AABC，2ABCACBABC.因为AABABCABA，于是AAABACAPAP，即AAP是正三角形，从而可得60ABCAABBAP，21202ACBABCBAP.再由ABC三内角之和为180，即(60)(1202)180BAPBAPBAC，整理后得3BACBAP.【备选2】如图所示，在ABC中，60B，100A，E为AC的中点，80DEC，D是BC边上的点，1BC，求ABC的面积与CDE的面积的两倍的和.【解析】将ABC补成一个等边三角形，并作ABC的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于24ABCCDESS.作60BCF，其中点F在BA的延长线上，则BFC为等边三角形.作CHBF于点H，并取点A关于点H的对称点G，则有18080CGHCAHBAC.而80DEC，18080EDCDECACB，故CGACED∽，且相似比为2.则4CAGCDESS.EDCBAGHFEDCBA而ABCGFCSS(ABCGFC≌)，故2ABCCDESS12FBCS38.【复习巩固】练习1.如图所示，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，点P在ABD内部，求证：APBAPC.【解析】作点P关于AD的对称点'P，连接'AP并延长交PC于点Q，连接'PC.因为ABAC，AD是BC边上的高，易得'APCAPB.因为''APCPQC，'PQCAPC，故APBAPC.练习2.(1997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题)如图所示，在四边形ABCD中，ABCD∥