几种谐振动模型的讨论与求解

第1页共9页几种谐振动模型的讨论与求解研究性学习课题类别：中学物理研究小组成员：纪正第2页共9页数学预备知识1.微分：2sincoscossin11lnxxdxxdxdxxdxdeedxdxdxxdxdxx2.常系数高阶线性微分方程的解法（此处只给出特征方程解法）对于n阶线性常系数微分方程1()(1)11+0nnnnnyayayayay，()yfx其特征方程1110nnnnaaa（*）假设在复数域内有n个不同的解：12n则该线性常微分方程的通解为1212nxxxnyCeCeCe由于之后推导公式需要，给出引理引理若方程（*）的解中有两个共轭复根i，则利用欧拉公式cossinixexix，因为解之间是线性无关的，所以取实部和虚部，就得到两个实值解cosx和sinx，它们与原有的n-2个实值解构成了一个实的基本解组.所以，原方程的通解是212112cossinnxxxnxCxyCeCeCCe（以上1212,,,,,,nCCCCC皆为任意常数）3.取近似（1）1,,(1)1nxnQxnx（2）0,tansin,cos1xxxxx第3页共9页弹簧振子模型1.基本公式推导（1）如图1-1(a)所示光滑水平面上有一弹簧一端固定在墙壁上，另一端固定一个质量为m的物块，弹簧的劲度系数为k.现将物块向右移动一小段距离A，如图1-1(b)所示，松开手，让物块开始运动，此时物块的动力学方程为Fkx，Fma，则可得0makx即220dxmkxdt解该微分方程的特征方程2mk得12,kkiimm（0km）由引理结论，则微分方程的通解为12cossinkkxCtCtmm由初始条件t=0时，000xAv，解得，120,ACC.所以，微分方程在此时的特解为Acoskmxt所以速度大小为第4页共9页Asinkkmmvt即表示，该振动的周期为2Tmk，振幅为A，振动过程中物块最大速度为maxAkmv.（2）弹簧的串联若两个弹簧首尾相接（串联）且劲度系数分别为12,kk，则连接后的弹簧的劲度系数为1212kkkkk.若两个弹簧并排连接（并联）且劲度系数分别为12,kk，则连接后的弹簧的劲度系数为12kkk.以上公式以及说明即为以后常用公式.第一类模型二体弹簧振子模型ABCDA（最基本模型）如图1-2(a)图所示，无限大的光滑水平面上，有两个相同的物块用弹簧连接在一起，物块质量均为m，弹簧的劲度系数为k，弹簧原长为0l。将这两个物块拉开一段距离2A。求解其运动方程以及其振动周期T。【分析与解】二体运动一般可以在质心系中进行求解。本模型中两个物块的质量相同，所以质心在两物块连线中点，以质心建立质心参考系，如图1-2(b)所示。初始条件为：t=0时刻第5页共9页有010120202,22lxAkkklxA由弹簧谐振子运动方程0makx即220dxmkxdt解之可得01022cos22cos2lkxAtmlkxAtm所以T22mkB（A模型延展）将A模型中的物块质量改为M，m，其他条件不变，如图1-3(a)所示。现将其拉开距离A，仍求解运动方程和周期。【分析与解】此时两物块的质心位置发生变化，但方程的求解方式不变，仍以质心建立质心参考系，如图1-3(b)所示。初始条件为t=0时刻10012200,,mmxlAmMmMmMmMkkmMMMxlAmMmM同A模型解法，可得图1-3（b）第6页共9页10200coscosmmmMxlAktmMmMmMMMmMxlAktmMmMmM所以2()TmMkmM.C（模型B的延展）0vB模型中物块质量、弹簧劲度系数均不变，物块与水平面之间的摩擦系数均为。开始时，弹簧处于原长0l，m静止，而M以2206()MmgvkmM的速度拉伸弹簧。如图1-4所示。求弹簧最大的伸长量maxl。【分析与解】在M以速度0v拉伸弹簧时，m可能被拉动，也可能未被拉动。此处只讨论被拉动的请况，可以知道，当mM时，m可以被拉动。（1）从初始状态到m将要被拉动时的状态，根据机械能守恒和受力分析，可得2220111222mgmgMvMvkMgkk（2）这之后，m开始运动，以m为参考系，利用二体修正可得MmakxMm其中a是相对加速度利用初始条件t=0图1-4Mm第7页共9页00=mgxkvv和简谐运动方程组2cos()sin()xAtvAtMmkMm可以解得cossinmgAkvA易得最大伸长量满足max222222()mgmgvMmlAvkkkMm带入v解得2max5()mglMMmkMmD（模型C的延伸）将模型C中的物块摩擦系数，改为M，m与水平面摩擦系数分别为12,。拉动M的速度改为21206()MmgvkmM。仍求弹簧最大伸长量maxl。（1）若12则由二体修正可得21()MmMmakxgMmMm第8页共9页将上式变形可得21()()()MmkMmaxgMmkMm设21()()MmXxgkMm则由能量守恒和谐振动方程2212220111222mgmgMvMvkMgkk2cos()Vsin()XAtAtMmkMm和初始条件t=0时刻，200=XVmgkv可以解得221max1212()()42()MmgkMmmglMMmkMm（2）同理，当12时，221max1212()()42()MmgkMmmglMMmkMm第二类模型类简谐振动模型这一类模型满足位移变量x（如角位移变量等）与位移变量对时间的二阶导数x（如角加速度等）的关系如下0,(0)xCxC则可得cosCtxC其中由初始条件（t=0时刻）给出.第9页共9页主要模型微摆动模型如图2-1所示，一根长为l的轻质细杆上，有质量为12,mm的两个小球分别固定在细杆的末端和距离末端xl的位置。求此时微小摆动摆动的周期T。【分析与解】由角动量定理得2121222(1)(1)mglmglMJmlml式中已经利用0,sin对其近似,其中M为关于细杆顶端的力矩，J为整个摆相对于细杆顶端的转动惯量.因为是的二阶导数，属与类简谐振动类型由上式可得212122222121(1)(1)(1)(1)mglmglmmglmlmlmm所以22121(1)22(1)mmlTgmm（以上文章引用了《常微分方程（丁同仁）》《中学奥林匹克竞赛物理教程力学篇（程稼夫）》等书中的部分内容，其余皆为作者自主总结、编写。）