凸函数及其在证明不等式中的应用

内江师范学院本科毕业论文本科毕业论文题目凸函数及其在证明不等式中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师吴开腾评阅教师班级2004级2班姓名冀学本学号200402410642008年５月２７日内江师范学院本科毕业论文I目录摘要.......................................................................................................................................................................IAbstract..............................................................................................................................................................I1引言...................................................................................................................................................................12凸函数的等价定义................................................................................................................................12.1凸函数三种定义的等价性的讨论...................................................................................................22.1.1定义1定义2............................................................................................................................22.1.2定义1定义3............................................................................................................................42.2判定定理与JESEN不等式......................................................................................................................43．性质...............................................................................................................................................................54凸函数在不等式证明中的应用......................................................................................................74.1利用凸函数定义证明不等式.............................................................................................................74.2利用凸函数性质证明不等式............................................................................................................8结束语................................................................................................................................................................11参考文献..........................................................................................................................................................11致谢.....................................................................................................................................................................12内江师范学院本科毕业论文摘要首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式．并得到了几种常用凸函数的形式．关键词凸函数，凸性不等式，jensen不等式AbstractFirsthasgiventheconvexfunctionthreemodeldefinition，hasanalyzedbetweenthemtherelations，andhasprovenbetweenthreekindofdefinitionequivalence.ThenhasgivenaconvexfunctiondeterminationtheoremaswellastheJeseninequality.Thendiscussedconvexfunctionseveralcommonlyusednature，hasdemonstratedtheconvexfunctionininequalityproofapplicationthroughthesamplequestion.Theconvexfunctionhastheimportantfundamentalresearchvalueandtheactualwidespreadapplication，theuseconvexfunctionnatureproofinequality;Veryeasytoprovetheinequalitytheaccuracy.Therefore，thecorrectunderstandingconvexfunction'sdefinition，thenatureandtheapplication，carryonthepromotiontotherelatedacademicquestiontostudythepivotalfunction.Intheinequalityprovedthattheapplicationandexplainswithexamplestheproblemsolvingmentalityandthecertificatemethod，finallyhasprovenseveralcommonimportantinequalities.Andobtainedseveralkindofcommonlyusedconvexfunctionforms.KeywordsConvexfunction，convexityinequality，jenseninequality内江师范学院本科毕业论文11引言凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要．凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究．本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用．2凸函数的等价定义定义1[1]若函数()fx对于区间(,)ab内的任意12,xx以及(0,1)，恒有1212(1)()(1)()fxxfxfx，则称()fx为区间(,)ab上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()yfx上任意两点1122(,()),(,())xfxxfx间的割线总在曲线之上．定义2若函数()fx在区间(,)ab内连续，对于区间(,)ab内的任意12,xx，恒有12121()()()22xxffxfx，则称()fx为区间(,)ab上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()yfx上任意两点1122(,()),(,())xfxxfx间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．定义3若函数()fx在区间(,)ab内可微，且对于区间(,)ab内的任意x及0x，恒有000()()()()fxfxfxxx，则称()fx为区间(,)ab上的凸函数．内江师范学院本科毕业论文2其几何意义为：凸函数曲线()yfx上任一点处的切线，总在曲线之下．以上三种定义中，定义3要求()yfx在(,)ab内是可导的，定义2要求()fx在(,)ab上是连续的．而定义1对函数()yfx则没有明显地要求．实际上可以证明在定义1中，函数()yfx在(,)ab上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数()yfx是可导的，则没有提出．如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的．2.1凸函数三种定义的等价性的讨论2.1.1定义1定义2证明定义1定义3，取12，由定义1推得定义2．定义2定义1首先，论证fx对于任意的12,,xxab及有理数0,1，不等式121211fxxfxfx，成立．事实上，对于此有理数总可以表示为有穷二进位小数，即12121122220.2nnnnnnaaaaaaa，其中0ia或1，1,2,,1;1nina．由于1也是有理数．所以也可以表示为有穷二进位小数，即121211222210.2nnnnnnbbbbbbb，由于11，有0ib或1，1,2,,1;1ninb，于是12121,2,,1iiiifaxbxafxbfxin．所以