函数与导数试题类型及解题策略

函数与导数试题类型及解题策略薛守勇一求切线方程的基本步骤：找切点，求导数，得斜率，代直线方程二导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)；(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．例题（根据高考题改编）设函数f（x）=aex++b（a＞0）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．解：求导函数，可得）∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，∴，即，解得．同类型练习（根据高考题改编）在实数集R上定义运算：,)().)((xexfayaxyx令为实常数).()()(,2)(2xgxfxFxexgx（I）求)(xF的解析式；（II）若函数))0(,0()(FPxF在点处的切线斜率为—3，求此切线方程；解（I）.21)2()]()[()(22xxxxexaexeaexgaxfxF（II）.)42()2(4)(22xxxeaxxeaxxexF由条件得.3,3,3)0(0aaeF解得即而.43,4)0(xyF故所求切线方程为题4解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1－x02，而此直线与曲线y=－2x2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判别式Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0.解得x0=±332，y0=37.∴P点的坐标为（332，37）或（－323，37）.函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．例题（根据高考题改编）已知函数xekxxfln)(（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线)(xfy＝在点))1(,1(f处的切线与x轴平行.（Ⅰ）求k的值（Ⅱ）求)(xf的单调区间解(I)1ln()exxkxfx，由已知，1(1)0ekf，∴1k.(II)由(I)知，1ln1()exxxfx.设1()ln1kxxx，则211()0kxxx，即()kx在(0,)上是减函数，由(1)0k知，当01x时()0kx，从而()0fx，当1x时()0kx，从而()0fx.综上可知，()fx的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,).同类型练习（根据高考试题改编）设函数1()ln1xfxaxx，其中a为常数.（Ｉ）若0a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（II）讨论函数()fx的单调性.解(1)0a当时212(),()1(1)xfxfxxx221(1)(11)2f(1)0(1,0)f又直线过点1122yx(2)22()(0)(1)afxxxx220()0.()(1)afxfxx①当时，恒大于在定义域上单调递增.2222(1)20()=0.()(1)(1)aaxxafxfxxxxx②当时，在定义域上单调递增.2210(22)4840,.2aaaaa③当时，即()fx开口向下，在定义域上单调递减。1,21(22)8412100.22aaaaaxaa当时，1222110.102axxxaa对称轴方程为且121121121()(0,)(,)1+21(+)aaaaaafxaaaaaa在单调递减，单调递增，，单调递减。0()0()11121()0()(0,)221211211+21(,)(+)afxafxaaafxafxaaaaaaaaaa综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增时，在定义域上单调递减；时，在单调递减，单调递增，，单调递减。1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根x0；(3)检查f′(x)在x＝x0左右的符号；①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．例题（根据高考试题改编）函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1.(1)若y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值；(3)若函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导数得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)．而过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1.故3＋2a＋b＝3，－a＋c－2＝1，即2a＋b＝0，①c－a＝3.②∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0.∴－4a＋b＝－12.③由①②③联立解得a＝2，b＝－4，c＝5，∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，解得x＝23或x＝－2.列下表：x－3(－3，-2)-2（-2，23)23(23，1)1f′(x)＋，0－0＋f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f(23)＝9527.又∵f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.(3)y＝f(x)在[－2,1]上单调递增．又f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由(1)知2a＋b＝0.∴f′(x)＝3x2－bx＋b.依题意在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，当x＝b6≥1时，即b≥6时，[f′(x)]min＝f′(1)＝3－b＋b0，∴b≥6时符合要求．当x＝b6≤－2时，即b≤－12时，[f′(x)]min＝f′(－2)＝12＋2b＋b≥0，∴b不存在．当－2b61即－12b6时，[f′(x)]min＝12b－b212≥0，∴0≤b6，综上所述b≥0.同类型练习（根据高考试题改编）已知关于x函数22ln,gxaxaRfxxgxx，（1）试求函数gx的单调区间；（2）若fx在区间0,1内有极值，试求a的取值范围；解：（1）由题意)(xg的定义域为),0(2222-)(xaxxaxxg（i）若0a，则0)('xg在),0(上恒成立，),0(为其单调递减区间；（ii）若0a，则由0)('xg得ax2，)2,0(ax时，0)('xg，),2(ax时，0)('xg，所以)2,0(a为其单调递减区间；),2(a为其单调递增区。（2）)()(2xgxxf所以)(xf的定义域也为),0(，且232''2'2222)()()(xaxxxaxxxgxxf令),0[,22)(3xaxxxh(*)则axxh-6)(2'(**)0a时,0)('xh恒成立,所以)(xh为),0[上的单调递增函数，又0-)1(,02)0(ahh，所以在区间)1,0(内)(xh至少存在一个变号零点0x，且0x也是)('xf的变号零点，此时)(xf在区间)1,0(内有极值.0a时)1,0(,0)1(2)(3xaxxxh,即在区间(0,1)上0)('xf恒成立,此时,)(xf无极值.综上所述,若)(xf在区间)1,0(内有极值，则a的取值范围为)0,(.