函数凸性定理

性质定理若函数f(x)是凹函数，则nfffnfxxxxxxnn)()()()(2121若函数f(x)是凸函数，则nfffnfxxxxxxnn)()()()(2121证明：若函数f(x)是凹函数，如下图点P（)(,2121nfnxxxxxxnn）在f(x)上设过P点的切线方程为：y=ax+b则bnanfxxxxxxnn2121)(（1）∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方∴bafxx11)(;bafxx22)(;…;bafxxnn)(∴bnanfffxxxxxxnn2121)()()((2)由（1），（2）得nfffnfxxxxxxnn)()()()(2121若函数f(x)为凸函数，如下图点P（)(,2121nfnxxxxxxnn）在f(x)上设过P点的切线方程为：y=ax+b则bnanfxxxxxxnn2121)(（1）∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方∴bafxx11)(;bafxx22)(;…;bafxxnn)(∴bnanfffxxxxxxnn2121)()()((2)由（1），（2）得nfffnfxxxxxxnn)()()()(2121定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。均值不等式：nnnxxxxxxn2121（0,,,21＞xxxn）证明：∵y=lgx是凸函数∴nnxxxxxxnn)lg()lg()lg()lg(2121∴nnnxxxxxxn2121lg)lg(即nnnxxxxxxn2121（0,,,21＞xxxn）高斯不等式：xxxxxxnnn11121212（0,,,21＞xxxn）证明：∵xy1(x0)是凹函数∴nnxxxxxxnn111)12121(／即xxxxxxnnn11121212（0,,,21＞xxxn）以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤233证明：∵A、B、C为三角形三内角∴A+B+C=πA0B0C0又∵y=sinx(0xπ)是凸函数∴3sin3sinsinsinCBACBA∴3sin3sinsinsinπCBA即SinA+sinB+sinC≤233例2求证nnxxxnxxxn222212)(21证明：∵xy2为凹函数∴nnxxxnxxxn222212)(21例3求证nnxxxnxxxknkkk222212)(21（k∈N）证明：∵xky2（k∈N）为凹函数∴nnxxxnxxxknkkk222212)(21