函数变换

函数的图象变换[目的与要求]1．掌握常用的图象变换的三种基本方法：平移变换、对称变换、翻折变换（伸缩变换留待三角函数中再学习）。2．熟悉各种变换，并且从各个角度将不同变换方法进行对比，从中总结规律，熟练掌握函数的作图，并能运用函数图象变换这个工具，更好地研究函数的性质。[主要内容]数形结合是中学阶段非常重要的数学思想，函数图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面刻划函数的变化规律，由“形”的直观性，既可以有助于掌握几类初等函数的性质，又常常为启迪解题思路，觅得解题途径提供有力工具。1．平移变换（1）函数y=f(x)+a是y=f(x)的图象沿y轴平移|a|个单位，a0时向上平移，a0时向下平移。（2）函数y=f(x+a)是y=f(x)的图象沿x轴平移|a|个单位，a0时向左平移，a0时向右平移。2．对称变换（1）函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。（2）函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。（3）函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。（4）函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。（5）函数y=f(x)与y=-f-1(-x)的图象关于直线y=-x对称。3．翻折变换（1）函数y=|f(x)|的图象是y=f(x)在x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象以x轴为折线，翻折到x轴上方来所得图形。（2）函数y=f(|x|)的图象是y=f(x)在y轴右方部分保持不变，将y轴左方图象去掉，将y轴右方图象以y轴为折线，翻折到y轴左方来，整个图形即为y=f(|x|)的图象。[典型例题]例1．若f(x)的图象过(0,1)点，则f-1(x)的图象过______点，f(x+1)的图象过______点，f-1(x+1)的图象过______点？分析与解答：由于f(x)的图象与f-1(x)的图象关于直线y=x对称，而点(0,1)关于直线y=x对称的点应是(1,0)，所以f-1(x)的图象过(1,0)点。f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移一个单位而成，而f(x)的图象过(0,1)点，故f(x+1)的图象过(-1,1)点。f-1(x+1)的图象是由f-1(x)的图象向左平移一个单位而成，而f-1(x)的图象过(1,0)点，(1,0)点向左平移一个单位是(0,0)点，故f-1(x+1)的图象过(0,0)点。注意：f(x+1)与f-1(x+1)并不是互为反函数关系，因此，它们的图象不关于直线y=x对称。实际上，f(x+1)与f-1(x+1)是关于直线y=x+1对称的。例2．若f(x-4)的图象过(4,1)点，则f-1(x-4)的图象过________点？分析与解答：由于f(x-4)与f-1(x-4)不是互为反函数，所以遵循的思路是f(x-4)→f(x)→f-1(x)→f-1(x-4)，∵f(x-4)的图象是由f(x)的图象向右平移4个单位得到。∴f(x)的图象是由f(x-4)的图象向左平移4个单位得到，而(4,1)点向左平移4个单位至(0,1)点。∴f(x)的图象过(0,1)点，∴f-1(x)的图象过(1,0)点。又∵f-1(x-4)的图象是由f-1(x)的图象向右平称4个单位。∴f-1(x-4)的图象过(5,0)点。另法：由例1，可知f(x-4)的图象与f-1(x-4)的图象关于直线y=x-4对称，而(4,1)点关于直线y=x-4对称的点是(5,0)，所以f-1(x-4)的图象一定过(5,0)点。例3．作函数y=(x≠1)的图象。分析与解答：这个函数是我们不熟悉的函数，能否利用变换，将其化归为我们熟悉的函数？∵y==-1+=-1+(x≠1)。它与我们熟悉的反比例函数f(x)=-非常接近。可看作f(x)→f(x-1)→f(x-1)+(-1)。即：将函数f(x)=-的图象先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，即可得到函数y=的图象，这个函数图象的对称中心是O'(1,-1)点，渐近线是直线x=1和y=-1。y=-由图象，可知道函数y=的一些性质。如单调性：它在(-∞,1)和(1,+∞)上都单调递增。定义域：，值域：。例4．作出下列函数图象。（1）已知函数f(x)图象如图1所示，作出函数y=f(x+1)+1的图象。（2）已知y=2x的图象如图2所示，作出函数y=21-x的图象。分析与解答：(1)由图1中图象，可看出该图象过(1,0)点，以y轴为渐近线，在(0,+∞)上单调递增。先将其向左平移一个单位，可得函数y=f(x+1)的图象，该图象一定过(0,0)点，以直线x=-1为渐近线，在(-1,+∞)上单调递增。再将y=f(x+1)的图象向上平移一个单位，该图象一定过(0,1)点，仍以直线x=-1为渐近线，在(-1,+∞)上单调递增。平移时，注意保持曲线对应部分“平行”。图象变换时，把握原函数图象的基本特征如：关键点，对称轴，渐近线，单调性等函数性质是十分有必要的。(图1)y=f(x+1)y=f(x+1)+1(2)法一函数y=2x的图象过(0,1)点，在(-∞,+∞)上单调递增，图象全部在x轴上方，即y0，图象x轴为渐近线。先将y=2x的图象作关于y轴的对称图形，可得函数y=f(-x)即y=2-x的图象，此图象应过(0,1)点，在(-∞,+∞)上单调递减，全部图象在x轴上方。再将函数y=2-x的图象向右平移一个单位，可得y=f[-(x-1)]即y=2-(x-1)=21-x的图象。该图象过(1,1)点，在(-∞,+∞)上单调递减，全部图象在x轴上方。（图二）y=2xy=2-xy=21-x法二：将y=2x的图象向左平移一个单位，可得函数y=f(x+1)即y=2x+1的图象，再将y=2x+1的图象作关于y轴对称的图象，可得y=f(-x+1)即y=21-x的图象。（图二）y=2xy=2x+1y=21-x。例5．作函数y=x2-2|x|+2的图象，并指出其单调区间。分析与解答：∵x2=|x|2，∴y=|x|2-2|x|+2。∴函数y=x2-2|x|+2的图象可由y=x2-2x+2的图象变换而来。先做出y=x2-2x+2的图象，对称轴为x=1，顶点为(1,1)，开口向上，将其在y轴右方的图象不变，把y轴左方图象去掉，将y轴右方图象以y轴为折线，翻折到y轴左方来，即得函数y=x2-2|x|+2的图象。函数y=x2-2|x|+2在(-∞,-1]上单调递减，在[-1,0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增。例6．讨论方程|x2-4x+3|=a的解的个数(a∈R)。分析与解答：纯粹从方程的角度对这个问题进行讨论，比较复杂。从数形结合的角度来试试。先做当y=|x2-4x+3|的图象。（1）直线y=a若在x轴下方，与函数y=|x2-4x+3|图象无交点，即a0时，无交点；（2）直线y=a与x轴重合时，与函数y=|x2-4x+3|的图象有两个交点，即a=0时，有两个交点；（3）直线y=a在x轴与直线y=1之间时，与函数y=|x2-4x+3|的图象有4个交点，即0a1时，有4个交点；（4）直线y=a与直线y=1重合时，与函数y=|x2-4x+3|的图象有3个交点，即a=1时，有3个交点；（5）直线y=a在直线y=1上方时，与函数y=|x2-4x+3|的图象有2个交点，即a1时，有2个交点。综上，当a0时，方程无解；当a=0或a1时，方程有2个实数解；当a=1时，方程有3个实数解；当0a1时，方程有4个解。[习题与解答]1．画出函数y=-的图象。2．画出函数y=的图象。3．判断方程x2+=4的解的个数。4．将函数y=f(x)的图象向左平移a(a0)个单位，则得函数_______的图象；若向右平移a个单位，则得函数_______的图象；再继续向下平移b(b0)个单位，则得函数______的图象。5．下面简图中，函数y=f(|x|)的图象只能是________。参考解析：3．由下图可知，解的个数为3。4．①y=f(x+a)②y=f(x-a)③y=f(x-a)-b5．B。