函数插值-习题课

西华大学计算机与软件工程学院1课程回顾+习题课xjxj-1xj+1x0xn计算量与n无关;n越大，误差越小.一般表达式分段线性插值nnnxxxxfx0),()(lim西华大学计算机与软件工程学院2xjxj-1xj+1x0xn其它0,)(101010xxxxxxxxlnjjjxlyx0)()(其它0,)(1101nnnnnxxxxxxxxl其它0,,)(111111iiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxl西华大学计算机与软件工程学院余项定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x)，则)(max),(max,)()()(xfMxxhMhxxfxRbxaiini11021其中8西华大学计算机与软件工程学院例已知函数211)(xxfy时的函数值。上取等距节点在区间]5,0[ixi0)5,,1,0(i的求分段线性插值函数，并由此计算近似值。节点处函数值如下表：)5.4(f0123451.000000.500000.200000.100000.058820.03846ix211iixy西华大学计算机与软件工程学院解分段插值基函数为]5,1(0]1,0[1)(0xxxxl]1,1[]5,0[0]1,[)1(],1[1)(iixiixixiixixxli)4,0[0]5,4[4)(xxxxln西华大学计算机与软件工程学院所以，分段插值函数为)(10000.0)(20000.0)(50000.0)()(3210xlxlxlxlx)(03846.0)(05882.054xlxl)5.4(03846.0)5.4(05882.0)5.4()5.4(54llf5.003846.05.005882.004864.0与精确值04706.0)5.4(f比较，结果是比较精确的。西华大学计算机与软件工程学院课程回顾+习题课7三次样条插值大M方法1111)(iiiiiiiiMxxxxMxxxxxS)()(6)(6)()(11331iiiiiiiixxDxxCMhxxMhxxxS两次积分插值条件待定系数考虑任一小区间[xi,xi+1]，设hi=xi+1-xi，Mi=S”(xi)西华大学计算机与软件工程学院8])()[(6)()()()(6)()()(11111331iiiiiiiiiiiiiiiMxxMxxhhxfxxxfxxhMxxMxxxS获得S(x)在[xi,xi+1]上的表达式需要知道Mi和Mi+1的值西华大学计算机与软件工程学院9)1,...,2,1(211nidMMMiiiiiiiiiiiihhh1;1插值条件获得计算参数Mi的方程西华大学计算机与软件工程学院10第I类边界条件f”(x0)=f”(xn)，即M0=Mn=0nnnnnnnnnMdddMdMMMM112201112212122212222)1,...,2,1(211nidMMMiiiiii西华大学计算机与软件工程学院11])()[(6)()()()(6)()()(11111331iiiiiiiiiiiiiiiMxxMxxhhxfxxxfxxhMxxMxxxS重点记忆)1,...,2,1(211nidMMMiiiiiiiiiiiihhh1;1nnnnnnnnnMdddMdMMMM112201112212122212222西华大学计算机与软件工程学院12三次样条插值大M方法解题步骤1.区间划分，获得区间长度hi2.计算3.写出三对角方程计算Mi4.将Mi代入区间样条函数Si(x)5.将要求点的值代入函数Si(x)计算iiiiiihhh11;nnnnnnnnnMdddMdMMMM112201112212122212222西华大学计算机与软件工程学院13[例]给定离散数值表如下，取M0=M3=0构成三次样条插值的M关系式，并计算f(1.25)：xi1.11.21.41.5yi0.40000.80001.65001.8000解：由题中(xi,yi)的数值可得：h0=0.1，h1=0.2，h2=0.1，6667.03333.0,3333.0,6667.02211由M0=M3=0的边界条件，得iiiiiihhh11;西华大学计算机与软件工程学院14解得：M1=13.125，M2=-31.875。将M0=0、M1、M2、M3=0代入区间[xi,xi+1]上的S(x)：55526667.06667.0221MM05.1790625.3580625.239125.53725.5975.1735625.1415.37875.321875.831875.72875.21)(232323xxxxxxxxxxS]5.1,4.1[]4.1,2.1[]2.1,1.1[xxx特别地：f(1.25)S(1.25)=1.0436])()[(6)()()()(6)()()(11111331iiiiiiiiiiiiiiiMxxMxxhhxfxxxfxxhMxxMxxxS西华大学计算机与软件工程学院插值习题151、n次拉格朗日插值多项式的余项是()(A))()!1()()(1)1(xnfxRnnn(B)()()()()!nnnfRxxn(C))!1()()()1(nfxRnn(D)()()()!nnfRxnA西华大学计算机与软件工程学院162、由数据005115225217102242......xy所确定的插值多项式是次数不大于（）的多项式．（A）二次（B）三次（C）四次（D）五次D西华大学计算机与软件工程学院173、经过点)3,2(),2,1(),1,0(CBA的插值多项式)(xP（）（A）x（B）1x（C）12x（D）12xB西华大学计算机与软件工程学院185、已知函数)(xfy的数据表09631520yx，则)(xfy的拉格朗日插值基函数)(2xl（）（A）)15)(25(5)1)(2(xxx（B）)10)(50)(20()1)(5)(2(xxx（C）)12)(52(2)1)(5(xxx（D）)51)(21(1)5)(2(xxxA西华大学计算机与软件工程学院196、已知函数)(xfy的数据表09631520yx，则求(2.6)f的二次拉格朗日插值基函数1()lx（）（A）)15)(25(5)1)(2(xxx（B）(2)(1)(52)(51)xx（C）(5)(1)2(25)xx（D）(2)1(12)xxB西华大学计算机与软件工程学院207、设)(xP是在区间],[ba上的)(xfy的分段线性插值函数，以下条件中不是)(xP必须满足的条件是（）（A）)(xP在],[ba上连续（B）kkyxP)(（C）)(xP在],[ba上可导（D）)(xP在各子区间是线性函数C西华大学计算机与软件工程学院218、令求的一次插值多项式，并估计插值误差。解：；，介于x和0，1决定的区间内；当时，。西华大学计算机与软件工程学院22三点的二次插值多项式2Lx。解：2121203111211121142121xxxxLxxx2537623xx．9、已知：10,13,24fff，求函数fx过这西华大学计算机与软件工程学院10已知特殊角，，的正弦函数分别为求近似值(用一、二次方法)并估计截断误差030045060,,2221050sin解角化为弧度，分别为。按拉格朗日插值一次式,取为节点，得000050,60,45,30185,3,4,6233,47601.02343418522343185185185sin1L西华大学计算机与软件工程学院595006.03sin612931854185)sin(2118521R误差西华大学计算机与软件工程学院取为节点，按拉格朗日插值二次式，3,4,6得7654.0234363418561852234643185618521364631854185185185sin2L4000767.06cos99234318541856185)cos(6118532R误差西华大学计算机与软件工程学院11、设有10到999之间整数的平方根表,已知10999x,利用线性插值求x的近似值．试求绝对误差限并估计有效数字的位数．（假设表上已给的函数值足够精确）解：设xa，则：228hxaM，其中：321099910999179104maxmax.xxMxxx，1h，故：2422991088.MhxaM，所以x有三位有效数字．西华大学计算机与软件工程学院12、给出f(x)=cosx，x[0,2]的一张等距步长分布的函数表,并解：对]2,0[x，必有某个ix使1iixxx，按线性插值计算任何x[0,2]的cosx的值。问步长取多大才能保证其截断误差绝对不超过21×104？令iixxh1，则：))((2)()(1''iixxxxfxR，西华大学计算机与软件工程学院解：对]2,0[x，必有某个ix使1iixxx，令iixxh1，则：))((2)()(1''iixxxxfxR，又：4))((max,1cos)(21''1hxxxxxxfiixxxii所以：24202111021082/max()xRxhh。西华大学计算机与软件工程学院2913若函数53)(47xxxxf,求],,,[710xxxf和],,,[810xxxf1！7！7！72227710)(],,[)(ff0！80！82228810)(],,[)(ff解有！因10,)(],,[)(nfxxxfnn西华大学计算机与软件工程学院()()0.400.550.650.800.90()0.410750.578150.696750.888111.02652(0.596)kkfxshxxfxNewtonf例已知表如下用插值公式求的近似值。西华大学计算机与软件工程学院解先作差商表xif(xi)1阶2阶3阶