函数重点难题整理

函数重难点整理￭考点解读（最近的模考及近几年的高考文理卷整理归纳）：1、基本考点：定义域、解析式、单调性、奇偶性、周期性（对称性）、反函数、值域与最值、幂指对函数、图象变换；2、需掌握的基本初等函数：一次函数、反比例函数、二次函数、分式函数（一次分式型、二次分式型）、耐克函数byaxx及变形（双勾、双增、双减）、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、绝对值函数￭重难问题一、函数性质态研究从函数的三要素和三特性入手，三要素是指定义域、解析式和值域；三特性是指奇偶性、单调性和周期性；三要素中值域的研究最困难，三特性中单调性的研究最重要。1、函数值域的理解、求值域［举例1］已知函数16)(,2)(2xxxgaxxf，对于任意的]1,1[1x都能找到)()(],1,1[122xfxgx使得，则实数a的取值范围是；［举例2］已知函数)(xfy的定义域和值域都是]1,1[（其图像如下图所示），函数],[,sin)(xxxg．定义：当])1,1[(0)(11xxf且]),[()(212xxxg时，称2x是方程0))((xgf的一个实数根．则方程0))((xgf的所有不同实数根的个是类似题：已知函数)(xfy和)(xgy在]2,2[的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([xgf有且仅有6个根②方程0)]([xfg有且仅有3个根③方程0)]([xff有且仅有5个根④方程0)]([xgg有且仅有4个根其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）.￭考点分析：函数的值域及最值（常用方法：配方法、换元法、基本不等式法、分离常数法、数形结合）［举例］如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PMOA，垂NMPCBAO足为M，PNOC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为．【考点分析：函数关系的建立，三角函数的值域】2、函数的基本性质①单调性［举例1］．若函数)1lg()(2axxxf在区间),1(上是增函数，则a的取值范围是［举例2］已知函数)0(2)2(),0()(xaxaxaxfx满足对任意12,xx成立，都有1212()()0fxfxxx，则a的取值范围是．【考点分析：函数的单调性，分段函数的图象】类似题目：1、已知)1(log)1()3()(xxxaxaxfa是),(上的增函数，那么a的取值范围是()A．(1，+∞)；B．(0，3)；C．（1，3）；D.[32，3）．2、若函数.11log2xcxxxxf，则“1c”是“xfy在R上单调增函数”的()．A充分非必要条件.B必要非充分条件.C充要条件.D既非充分也非必要条件.②奇偶性［举例1］有这么一个数学问题：“已知奇函数xf的定义域是一切实数R,且22,22mfmf，求m的值”。请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由（只需说理由）。__________________［举例2］．给出条件：①12xx，②12xx，③12xx，④2212xx．函数22()sinfxxx，对任意12,22xx、，都使12()()fxfx成立的条件序号是（）A．①③.B．②④.C．③④.D.④.【考点分析：考查函数奇偶性和单调性的应用，利用偶函数的对称性，将函数值的大小转化为对应的不等式关系】类似题目、已知函数xxxfcos)(2，2,2x，则满足3)(fxf的x的取值范围是__________．③函数的周期性［举例1］定义在R上的奇函数f（x），对任何实数x，总有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时,f（x）=x，则f（x）在[2，3]上，f（x）=考查：函数的周期性，解题关键是对称变换［举例2］已知函数()fx的定义域为R，且对任意Zx，都有()(1)(1)fxfxfx。若(1)6f，(1)7f，则(2012)(2012)ff.【考点分析：函数的周期性、计算能力和逻辑推理能力】3、函数三性的交融［举例1］定义在),(上的偶函数)(xf满足)()1(xfxf，且)(xf在]0,1[上是增函数，下面五个关于)(xf的命题：①)(xf是周期函数；②)(xf图像关于1x对称；③)(xf在]1,0[上是增函数；④)(xf在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(ff，其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）练习：设)(xf为定义域为R的函数，对任意Rx，都满足：)1()1(xfxf，)1()1(xfxf，且当]1,0[x时，.2)(2xxxf（1）请指出)(xf在区间]1,1[上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；（2）试证明)(xf是周期函数，并求其在区间)Z](2,12[kkk上的解析式．4、反函数［举例1］已知函数2()|1|fxx，若0xy，且()()fxfy，则（）．A．24yx（02x）B．24yx（02x）C．22yx（02x）D．22yx（01x）【考点分析：反函数恒等式】［举例2］．已知fx是单调减函数，若将方程fxx与1fxfx的解分别称为函数fx的不动点与稳定点，则“x是fx的不动点”是“x是fx的稳定点”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【反函数的图象特征、自反函数】5、函数的图象及变换［举例1］函数2()fxaxbxc的图像关于任意直线l对称后的图像依然为某函数图像，则实数a、b、c应满足的充要条件为．【考点分析：函数的定义及图象特征】练习：将函数2642xxy)60(，x的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角)0(，得到曲线C.若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为__________.w.w.w.k.s.5.［举例2］直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数)(xf的图象恰好经过k个格点，则称函数)(xf为k阶格点函数.下列函数：①xxfcos)(；②3)1()(2xxf；③xxf)31()(；④.log)(32xxf其中是一阶格点函数的有（填上所有满足题意的序号）．【考点分析：是初等函数的图象与性质，考查计算能力，逻辑推理能力。】［举例3］已知函数axxxxf11)(的图像关于垂直于x轴的直线对称，则a的取值集合是.【考点分析：绝对值的和函数的图象特征】［举例4］已知函数||4||)(xxxf，当]1,3[x时，记)(xf的最大值为m，最小值为n，则nm______.【考点分析：函数图象及函数图象变换】［举例5］定义在R上的偶函数)(xf，对任意的Rx均有)()4(xfxf成立，当]2,0[x时，3)(xxf，则直线y=4.5与函数)(xfy的图像交点中最近两点的距离等于￭考点分析：考查了函数的周期性与偶函数图象的性质，同时考查了数形结合的思想￭研究方法：数形结合［举例6］已知点1212(2)(2)xxAxBx，、，是函数2xy的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222xxxx成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin)(sin)AxxBxx，、，是函数sin((0))yxx，的图像上的不同两点，则类似地有成立．￭考点分析：主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，利用图象法。［举例7］记时当时当babbaaba,,,min，已知函数34,12min)(222xxttxxxf是偶函数（t为实常数），则函数)(xfy的零点为.（写出所有零点）￭考点分析：函数的图象、零点；￭解题关键：数形结合、推理分析6、抽象函数已知函数()fx满足：①对任意(0,)x，恒有(2)2()fxfx成立；②当(1,2]x时，()2fxx.若()fa)2020(f，则满足条件的最小的正实数a是.￭考点分析：考查抽象函数及应用，解题关键：等价转化类似题目：定义在R上的函数)(xf，当xxxfx2)(]1,1(时，，且对任意的x满足)0)(()2(axafxf常数，则函数)(xf在区间（5,7]上的最小值是（）A、341aB、341aC、341aD、341a二、函数与方程、函数与不等式函数()yfx可以看成关于,xy的二元方程()0fxy，而解方程()0fx即为求函数()yfx的零点；而不等式()0(()0)fxfx可以看成函数()yfx在x轴上（下）方部分的图像所对应的x的取值范围。1、函数的零点（存在或所在范围）问题［举例1］下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．13xxfB．3xxfC．xxfD．xxfln￭考点分析：函数的零点的判定定理［举例2］设a为非零实数，偶函数2()1()fxxaxmxR在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a的取值范围是。￭考点分析：本题考查函数的零点的判定定理类似题目：关于x的方程0922axax（Ra）有唯一的实数根，则a．［举例3］已知234101()1234101xxxxfxx，234101()1234101xxxxgxx，若函数()fx有唯一零点1x，函数()gx有唯一零点2x，则有（）A．12(0,1),(1,2)xxB．12(1,0),(1,2)xxC．12(0,1),(0,1)xxD.12(1,0),(0,1)xx￭考点分析：函数零点的存在定理分析：根据函数零点的判定定理，根据选项分别求得f（0），f（1），f（-1），g（0），g（1），g（2）的值，根据它们的符号确定零点x1，x2所在的区间类似题目已知函数bxaxfx)(的零点)1,(0kkx)(Zk，且常数ba,分别满足23a，32b，则k（）A.1;B.0;C.1;D.2.［举例4］定义：对于定义域为D的函数()fx，如果存在tD，使得(1)()(1)ftftf成立，称函数()fx在D上是“T”函数。已知下列函数：①1()fxx；②22()log(2)fxx；③()2xfx(0,x)；④()cos(0,1)fxxx，其中属于“T”函数的序号是．（写出所有满足要求的函数的序号）考查：函数方程╬研究方法：等价转化（转化为方程是否有解）［举例5］若函数1log2)(|3|xxfax无零点，则a的取值范围为错误!未找到引用源。．￭考点分析：考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围￭研究方法：数形结合、等价转化（转化为两函数图象无交点）［举例6］设()fx是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有)()4(xfxf且当[2,0]x时，1()()1,(2,6]2xfx若在区间内关于x的方程()log(2)0(1)afxxa恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是．考点：函数的性质、函数的图象、函数的零点专题与思想：函数与方程，数形结合只需g(2)＜3，g(6)＞3，解不等式即可得到答案．类似题目函数2121(0)()2(0)xxxxfxax有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．2、方程根的和或积的问题［举例1］设函数141()log()4xfxx、2141()log()4xfxx的零点分别为12xx、，则（）A．122xx.B．1212xx.C．1