分块矩阵初等变换及应用

分块矩阵的初等变换及应用唐佳丞（电子科技大学英才实验学院2014级3班）摘要初等变换和分块矩阵是线性代数研究中两个重要的概念，本文主要研究分块矩阵中的初等变换问题，简化并较为全面的总结了前人的研究。关键词初等变换分块矩阵初等矩阵一、引言我们在研究大型矩阵时常会将其简化为分块矩阵，分块矩阵在计算上比原矩阵更加简洁。而初等变换也是对矩阵进行简化的一项重要举措。然而，由于分块矩阵中的项为矩阵而不是数，其在进行初等变换时无法像一般矩阵那样运算，因此，本文的目的就是讨论如何对分块矩阵进行初等变换及其应用。二、分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵定义1设A是一个n阶分块矩阵：A=11111niiijijjnnnAAAAAAAA其三种初等行变换为：（1）交换i、j两行（(,)Iij）；（2）第i行左乘一个可逆矩阵K（(())IiK）；（3）第i行左乘一个矩阵P加到第j行（((),)IiPj）。定义2将单位矩阵I分块：1000000nrrIII，其中irI是ir阶单位矩阵（1in）则称I为分块单位矩阵。定义3设I是一个n阶分块单位矩阵100niIi其对应三种分块初等矩阵分别为：（1）其交换i、j两行：1100(,)00jjiinniiIijii；（2）其第i行左乘一个可逆矩阵K：110(())0nniIiKki；（3）其第i行左乘一个矩阵P加到第j行：110((),)0iijjnniiIiPjPii。分块初等矩阵有如下性质：性质1分块初等矩阵皆为可逆矩阵且逆分别为：（1）1110000jjiinniiii=110000jjiinniiii；（2）11100nniki=11100nniki；（3）11100iijjnniiPii=1100iijjnniiPii（证明略）性质2对于要进行初等行变换的分块矩阵A，其对应的分块初等矩阵I的行数等于A的列数，I中第i行的矩阵的行数等于A中第i列矩阵的列数。证：由分块矩阵乘法的性质可证。（列初等变换可类似地定义出来）引理1对一个*mn矩阵X做一次行初等变换就相当于在X的左边乘上相应的*mm初等矩阵；对X做一次列初等变换就相当于在X的右边乘上相应的*nn初等矩阵。类似的，我们可以将矩阵X类比到分块矩阵A。定理1对一个*mn分块矩阵A做一次行初等变换就相当于在A的左边乘上相应的*mm初等分块矩阵；对A做一次列初等变换就相当于在A的右边乘上相应的*nn初等分块矩阵。证：以分块矩阵3*2A=******lsltmsmtnsntadbecf为例（1）交换1、3行：1A=***000000mmnnllIII******lsltmsmtnsntadbecf=******nsntmsmtlsltcfbead；（2）第二行乘以矩阵K：2A=***000000llmmnnIKI******lsltmsmtnsntadbecf=******lsltmsmtnsntadKbKecf（3）第二行的P倍加到第三行：3A=****00000llmmnmnnIIPI******lsltmsmtnsntadbecf=********nsntmsmtmslsmtltcfbePbaPed（4）交换1、3列：4A=******lsltmsmtnsntadbecf**00ssttII=******ltlsmtmsntnsdaebfc（5）第二列乘以矩阵H：5A=******lsltmsmtnsntadbecf**00ssttIH=******lsltmsmtnsntaHdbHecHf（6）第二列Q倍加到第一列：6A=******lsltmsmtnsntadbecf***0sststtIQI=*********ltlsltmtmsmtntnsntQdadQebeQfcf同理可推广至*mn。定理2分块矩阵的初等变换为可逆变换。证：由分块初等矩阵性质1可知分块初等矩阵为可逆矩阵，对于进行列初等变换AAAI的分块矩阵，只需在右端乘以1AI则可变换回A。定义4能够通过有限次分块行初等变换化为分块单位矩阵的分块矩阵为分块可逆矩阵。引理2n阶分块可逆矩阵能通过初等变换化为分块单位矩阵。证：对于矩阵1111niinnnAAAAAA第1行左乘11111iIAA加到第i行则可得1112122120niinnnIBBBABBB同理得11nniiICIAI第n行左乘ninIC加到第i行可得1(1)00nnICAII同理得1niiiIIIAI定理3n阶分块可逆矩阵可表示为有限个分块初等矩阵的乘积。证明同上。二、分块矩阵的初等变换的应用1.利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆例：求2阶分块矩阵121221rraaAaa的逆矩阵，其中ira为ir阶可逆矩阵。解：11121222121111121212211211212121000rrrrrrrrrrraaIaaIaIaaaaaaaaIaaaIaaaI1121122121111111221121112100rrrrrrrrrIaaaaaaaaaIaaaa所以112112212111111122112111121rrrrrrrrraaaaaaaaaAaaaa注：同理可求3阶及以上矩阵的逆，用此方法求逆计算量虽大，但对于所有分块可逆矩阵都可以按一种模式进行计算，便于计算机进行操作。2.运用分块矩阵的初等变换求解行列式引理3分块初等矩阵的行列式有以下性质：（1）)1(),(jiE，其中)()(111jijjiirrrrrr，(ji)；（2）PPiE))((，其中P是ir阶可逆矩阵；（3）1)),((iPjE，其中P是jirr矩阵。定理4设A是一个分块矩阵：（1）交换A的ji,两行（列），行列式变为A)1(，即,(1)AijA，其中=)()(111jijjiirrrrrr。（2）用一个ir阶可逆矩阵P左（右）乘A的第i行(列)的所有矩阵，即(())AiPPA。（3）用一个矩阵P左（右）乘A的某一行（列）的所有矩阵再加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变，即((),)AjPiA。证：（1）,(,)(,)(1)AijEijAEijAA（2）(())(())(())AiPEiPAEiPAPA（3）((),)((),)((),)AjPiEjPiAEjPiAA3.分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用定理5对任意分块可逆矩阵A，存在一个可逆的分块上三角矩阵B和一个可逆的分块下三角矩阵C使ABC证：用数学归纳法证明（1）当1n时，显然成立；（2）假设1n时成立，即111001nrnnmraaABCaa，其中00,BC分别是1n阶分块可逆下三角形与上三角形矩阵，则对于n阶分块可逆矩阵1nnnnAAa有：111111010nnnnnnnnnAIAAaAaA,两边取行列式有111()nnnnnAaAA，nA可逆11()0nnnaA11000111100010nnnnnnnABCBaAaA11100000011111111000110100nnnnnnnnnnnnAIBBCBCBAaAAaAaA令01101nBBA、100110nnnCBCaAnABC由（1）、（2）可知，定理5成立。三、小结分块矩阵的初等变换是矩阵中的一个重要结论，对于简化求大型矩阵的逆、行列式等方面有着非常重要的意义。相比于一般矩阵的计算，由于分块矩阵中的项是矩阵而不是数，所以在进行各种分块初等变换时一定要满足可乘。同时，用分块初等变换研究分块矩阵的方法都具有一定的模式化，因此便于使用计算机进行操作。参考文献：[1]黄廷祝，成孝予.线性代数与空间解析几何(第3版)[M].北京;高等教育出版社，2007:20-45[2]吴云,徐小湛.分块矩阵的初等变换[Ｊ].工科数学，1997（8）.第13卷第四期[3]吴云.分块矩阵的初等变换及其在求逆和行列式中的应用[N].自贡师范专科学校学报，1996（3）[4]高百俊.分块矩阵的初等变换及其应用[N].伊犁师范学院学报(自然科学版).2007-12(第四期)