分布参数系统最优控制报告

分布参数系统最优控制方法报告分布参数系统介绍化工过程的传热、传质及化学反应等过程在空间上表现为连续分布的特点，其内部各状态的变化不能用有限个参数进行完全表征，因此引入“场”的概念，也即用一维或多维空间变量函数来表征整个系统的状态变化。这一方法因系统的状态与输出参数随时间与空间表现出连续分布的变化特性而称作分布参数系统(DPS)。DPS通常可用偏微分方程、积分方程、超越传递函数进行描述【1】，通常表现为如下状态空间方程形式【2】：2(,,,,,,...,),,[0,]fYftXYUYYXttt(1)上式的边界条件：(,)0,,[0,]fXtXtt，初始条件：0(,0)(),UXUXX。其中，nR，{|1,2,...,,}aaXxaNx，U为控制向量，为微分算子l。分布参数系统典型数学模型DPS的典型数学模型按方程性质常见有双曲型、抛物型、椭圆型，同时还可按空间变量维数、微分阶次划分为不同维不同阶次的系统【1】。以下介绍几类化工过程常见分布参数模型的简单形式：1.一维热传导、扩散模型A．双曲模型，常用于流体管道活塞流过程纯对流系统方程：(,)(,)UXtUXtbXt(2)式中，X为沿管道坐标，b为与流动特性有关的系数。B．抛物模型，常用于均匀圆柱体的传导、扩散系统方程：22(,)(,)TXtTXttX(3)式中，X为沿柱体轴线方向坐标，为与传导、扩散特性有关的系数。2.二维热传导、扩散模型A．矩形体动态抛物模型2222()TTTXYt(4)取定边界条件为：(0,,)1(,,)0(,0,)1(,,)0TYtTaYtTXtTXbtB．稳态椭圆模型：22220TTXY(5)(4)(5)式中X，Y表示二维坐标。3.其他常见模型A．长柱体多段加热22(,)(,)(,)pTXtTXtCKqXttX(6)式中，q为加热炉加热速率，，pC为相关计算参数。B．平面热辐射2(,)1(()(,)/)()TXtTXtXtTX(7)取定边界条件为：(0,)()(,)0TtqtXTLtXC．套（列）管换热器传热过程（并流）管内流体：111112(,)(,)((,)(,))XtXtVcXtXtXt(8)管外流体：122212(,)(,)((,)(,))XtXtVcXtXtXt(9)式中，ic为综合传热系数，i为界面传递项，iV为流体流速。分布参数系统最优控制方案设计DPS最优化控制方案的设计一直是国内外相关领域的重点研究课题。对于DPS最优控制方案的设计，主要涵盖三个基本问题的处理【3】，即系统的可控性与可观性判决；给定性能指标下系统的最优控制；最优化的充分必要条件证明与一些特殊选定问题的解决。由于篇幅限制，以下将就上述三个问题分别摘取一种主要处理方法进行简单阐述。1．DPS可控性与可观性分析依据偏微分方程谱分解理论，应用正交函数逼近方法进行DPS可观性与可控性判决是一种有效方法【4】，其基本结论表述如下：A．一阶DPS逼近可控可观性判决对于形如：10(,)(,)(,)(,)(0,)()miiixtzxtzAxtzBCutztzxzxz(10)其中，12[,,...,]Tmzzzz为空间坐标，(,)xtz为系统状态。其逼近可控的充要条件为：0210[,,,...,]nrankBABABABn(11)逼近初值可观的充要条件为：010[,,...,()]TTTTTnrankCACACn(12)B．二阶DPS逼近可控可观性判别对于形如：2*01220(,)(,)(,)(,)()()(0,)()xtzxtzxtzaxtzaabzzuttzzxzxz(13)其逼近可控的充要条件为：11*1*1*((),(),...,())prankbWzbAWzbAWzp(14)逼近初值可观的充要条件为：000()():()TTTCzCzrankpCz(15)式(10)~(15)中相关变量的详细解释以及推导的具体过程可参照文献[4]。由上述判决结果可知，DPS的可观可控性不仅与系统参数有关，而且还与控制点和观测点的位置有关。2．最优控制的充分必要条件对于形如：(,,)xAxgtxut(16)指定其最优控制的性能指标为：0()(,,)()TJuftxudthx(17)则其最优控制的充分必要条件为：***************(,,)(,,),()(())((,,,))(,,,)pApgtxupftxupThxTtMaxHtxpuHtxpu(18)式(16)~(18)的相关变量解释与具体推导过程可参照文献[5]~[7]。3．给定性能指标下DPS的最优控制在此将受控系统的控制方程表示为：(,,,,,,)0,1,2,...,ifxtuvwimt(19)其中，为关于x,t的向量函数，v为与时间无关的分布控制，w为与时间有关的分布控制。约束方程定义为：||,||||,||iiiirlrrduduAAdtdtdwAAtt(20)其中，,,,iirAAAA为固定常数，,,,r为不等于零的整数。对于最优控制的性能指标，一般可以表示为如下形式：0120(,,,)(,,(,))(,,(,))TJPxtzddtPxTxTdPxTxTd(21)其中，(,,)zuvw。因此，对于DPS最优控制问题的求解，即在式(20)范围内寻找控制z，及在其作用下方程(19)连同相应附加边界与初值条件所得到的解，使式(21)所得J取得最大或最小值。最优控制存在的充分必要条件中已经给出了求解最优z的思路。由于DPS边界与初值问题的直接应用求解过于复杂，一种可行求解策略是采用区域分解算法，将DPS方程定解问题转化为一个参数辨识模型，从而简化求解。有关式(19)~(21)的具体解释与推导，以及后续最优控制律的求解问题可参照文献[8][9]，在此不做具体叙述。总结相对于常见的集中参数系统来讲，虽然DPS可能更贴近于实际系统，但其建立与求解问题却要明显复杂的多，控制方法的设计也往往需要借助函数向量逼近、多假设限定等手段对系统进行一定的转换与规定。虽然目前DPS的控制方法已经涵盖最优化、鲁棒、H、自适应、变结构滑动模等众多控制方法，但相关体系仍未得到彻底的完善。参考文献[1]吴惕华.分布参数工业系统控制[J].化工自动化及仪表,1991年第6期.[2]周旋,喻寿益.分布参数系统参数辨识的最佳测量位置[J].中南大学学报,2004年第1期.[3]H.LIU,J.Yang.Optimalcontrolofsemi-linearparabolicsystemswithstateconstraint[J].MathematicalAnalysisandApplications,vol.417,2014,pp.787-803.[4]顾幸生,蒋慰孙.分布参数系统的逼近可控性与可观性研究[J].中国控制与决策学术年会论文集,1997年.[5]王毅.非线性分布参数系统最优控制的充分条件[J].四川轻工学报,1996年6月.[6]张晓东,李树荣.一类分布参数系统的最优控制[J].中国石油大学学报,2008年第5期.[7]于怀强.随机与确定性分布参数系统最优控制必要性条件的研究[D],华中科技大学,2012年4月.[8]李文娟.分布参数系统的最优控制与区域分解算法及其应用[D].大连理工大学,2003年.[9]李春发.分布参数系统辨识与最优控制理论算法及应用[D].大连理工大学,2003年.