刚体转动惯量的测量

实验六刚体转动惯量的测量转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。转动惯量的定义式为：iiimrI2或dmrI2如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂，且质量分布不均匀的刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，例如机械部件，电动机转子和枪炮弹丸等。转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。本实验使物体做扭转摆动，由摆动周期及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。【预习思考题】1．实验中如何选择扭摆的周期数？2．用扭摆测量刚体转动惯量的过程中，需要注意哪些问题？【实验目的】1．扭摆法测定几种不同形状物体的转动惯量和弹簧的扭转常数,并与理论值进行比较；2．验证转动惯量平行轴定理。【实验仪器】扭摆、空心金属圆柱体、实心塑料圆柱体、木球、细金属杆、金属滑块、游标卡尺、米尺、物理天平、TH－2型转动惯量测量仪【实验原理】1．测定刚体的转动惯量扭摆的构造如图1，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体，垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩。3为水平仪，用来调整仪器转轴成铅直。使物体在水平面内转过一角度后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度成正比，即KM（１）式中K为弹簧的扭转常数。根据转动定律IM（２）其中，I为物体绕转轴的转动惯量，为角加速度。忽略轴承的摩擦阻力矩，由（１）、（２）式得,022IKdtd令IK2，则0222dtd（3）213图1扭摆31421-垂直轴；2-螺旋弹簧；3-细杆；4-滑块图2方程（3）表明扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。此方程解为：tAcos（4）式中A为谐振动的角振幅，为初相位角，为角频率。谐振动的周期为KIT22（5）由（5）式可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期T，并在I和K中任何一个量为已知时，即可计算出另一个量。本实验用一个几何形状规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的K值（2122104IKTT）。若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（5）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。--------------2．验证平行轴定理理论分析证明，若质量为m的物体绕通过质心轴的转动惯量为0I，当转轴平移距离x时，则此物体对新轴线的转动惯量变为20mxI，这称为转动惯量的平行轴定理。本实验将对此定理加以验证。将滑块对称地放置在细杆两边的凹槽内，见图２，对称的改变滑块的质心距转轴的距离x，则根据转动惯量的平行轴定理，整个刚体对转轴的转动惯量24422mxIIIc（6）式中Ｉ４为细杆及支架对转轴的转动惯量,Ｉ４Ｃ为单个圆柱绕过其质心且平行于转轴的转动惯量，且2121214121(81lmDDmIc滑外内滑）＋＋将式（6）代入（5）有)2(48442222cIIKxKmT(7)可见Ｔ2与x2是线性关系。在直角坐标纸上作Ｔ-x2图，如果是一直线，则可认为平行轴定理是成立的。【实验内容】１．熟悉扭摆的构造，使用方法，以及转动惯量测试仪的使用方法。２．测定扭摆的仪器常数（弹簧的扭转常数）K。３．测定塑料圆柱、金属圆柱、木球、金属细长杆的转动惯量。与理论值比较，求二者的相对不确定度（理论值242332222111211018181mLImDIDDmImDI，），＋（，外内，其中D表示直径,L表示长度）。4．改变滑块在金属细长杆上的位置，验证转动惯量平行轴定理。【实验步骤】1．测出塑料圆柱体的直径、金属圆筒的内外径及直径、金属细杆长度及各物体的质量。计算各物体的转动惯量理论值，填入表格。2．调整扭摆基座底脚螺钉，使水平仪中气泡居中。3．测定扭摆的扭转常数K。（1）将金属载物盘卡紧在扭摆垂直轴上，并调整光电探头的位置，使载物盘上挡光杆处于其缺口中央且能遮住发射红外线的小孔。使用转动惯量测试仪测定其摆动周期T0。（2）将塑料圆柱体垂直放在载物盘上，测定其摆动周期1T。（3）由0T、1T及塑料圆柱转动惯量的理论值1I计算扭摆的扭转常数K。2122104IKTT4．分别测定金属圆筒、木球及金属细杆的转动惯量。（1）用金属圆筒代替塑料圆柱体，测定其摆动周期2T。（2）取下载物金属盘，装上木球，测定木球及球支架的摆动周期3T（在计算木球的转动惯量时，应扣除球支架的转动惯量I支1）。（3）取下木球，装上金属细杆（金属细杆中心必须与转轴重合），测定金属细杆及细杆夹具的摆动周期4T（在计算转动惯量时，应扣除细杆夹具的转动惯量I支2）。（4）根据上述测定的摆动周期，分别计算出各待测物的转动惯量的实验值，并与理论值比较，计算二者的相对不确定度。5．验证转动惯量平行轴定理：将滑块对称地放置在细杆两边的凹槽内（见图2），此时滑块质心离转轴的距离分别为5.00，10.00，15.00，20.00，25.00厘米，分别测定其摆动周期，计算滑块在不同位置时系统的转动惯量(计算时应扣除细杆夹具的转动惯量I支2)，并与理论值比较，计算相对不确定度。作T2-x2图，验证转动惯量平行轴定理。6．做完实验后，整理实验仪器，处理数据，完成实验报告。注意事项：1．由于弹簧的扭转常数K值不是固定常数，它与摆动角度略有关系。摆角在90º左右基本相同，在小角度时变小。为了降低实验时由于摆动角度变化过大带来的系统误差，在测定各种物体周期时，摆角不宜过小，摆幅也不宜变化过大，通常使摆角固定在90º左右。2．光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，挡光杆不能和它接触，以免增大摩擦力矩。3．基座应保持水平状态。4．在安装待测物体时，其支架必须全部套入扭摆主轴，并将制动螺丝旋紧，否则扭摆不能正常工作。5．为提高测量精度，应先让扭摆自由摆动两三个周期，然后按“执行”键进行计时。【数据处理要求】1．由载物盘转动惯量0I、塑料圆柱体的转动惯量理论值2181'DmI及塑料圆柱体放在载物盘上总的转动惯量221'104TII，计算扭转常数)2(202122TTDmK。2．计算塑料圆柱、金属圆筒转动惯量实验值的不确定度。22])(])([)(TTUkkUIUCCC3．计算各种物体的转动惯量，并与理论值进行比较，求出相对不确定度。表1转动惯量测量实验数据记录参考表物体名称质量(kg)几何尺寸(10-2m)周期(s)转动惯量理论值(10-4kgm2)转动惯量实验值(10-4kgm2)相对不确定度金属载物盘//0T24010929.4mkgI20212010TTTII=/0T塑料圆柱1D1T21181DmI=022114ITKI=/1D1T金属圆柱外D2T22281内外DDmI=022224ITKI=外D内D内D2T木球3D3T233101DmI=122334支ITKI=D3T金属细杆L4T24121mLI222444支ITKI=L4T表2转动惯量测量实验数据记录参考表（转动惯量平行轴定理的验证）x(10－2m)5.0010.0015.0020.0025.00摆动周期T（s）)(sT实验值（10－2kgm2）2224支IKTI理论值（10－2kgm2）24422mxIIIc相对不确定度已知：金属载物圆盘转动惯量理论值：24010929.4mkgI球夹具转动惯量实验值：24110187.0mkgI支细杆夹具转动惯量实验值：24210321.0mkgI支两个圆柱体滑块绕平行于转轴的质心轴的转动惯量实验值：24410772.02mkgIc【思考题】1．写出计算塑料圆柱、金属圆筒物体转动惯量实验值与理论值的详细求解过程。2．写出弹簧的扭摆常数K的详细求解过程。3．如何消除实验系统摩擦阻力矩及实验装置本身转动惯量的影响？4．如何用本装置来测定任意形状物体绕特定轴的转动惯量？附录：仪器的构造原理1.TH－2型转动惯量测量仪的组成。转动惯量测量仪由主机和光电传感器组成。主机采用新型单片机作控制系统，用于测量物体转动和摆动的周期以及旋转体的转速。能自动记录、存储多组实验数据并能够精确计算多组实验数据的平均值。光电传感器主要由红外发射管和红外接收管组成，将光电信号转换成脉冲电信号，送入主机工作。因人眼无法直接观察仪器工作是否正常，但可用遮光物体往返遮挡光电探头发射光束的通路，检查计时器是否开始计时和到达预定周期数时，是否停止计数的措施来间接检查。为防止过强光线对光电探头的影响，光电探头不能放置在强光下，实验时采用窗帘遮光，确保计时准确。2.仪器使用方法TH－2型转动惯量测量仪面板如图3所示。（1）使用时，调节光电传感器在固定支架上的高度，使被测物体上的挡光杆能自由往返的通过光电门，再将光电传感器的信号传输线插入主机输入端（位于测试仪背面）。（2）开启主机电源，“摆动”指示灯亮，参量指示为“P1”、数据显示为“----”。若异常，可按复位键，即可正常(默认状态为摆动)。（3）按功能键：可选择摆动和转动(开机和复位默认状态为摆动)。（4）按置数键：显示10N（本机默认的扭摆周期数为10），按上调键，周期数依次加1，按下调键，周期数依次减1，周期数可在120间任意设定，再按置数键确认，显示end。更改后的周期数不具有记忆功能，一旦切断电源或按“复位”键或再次按“置数”键，便恢复原来的默认周期数。（5）按“执行”键数据显示为0.000P1,表示仪器已处在等待状态。此时，当被测的往复摆动物体上的挡光杆第一次通过光电门时，仪器即开始连续计时,计时灯亮，直到周期数等于设定值时，停止计时，计时灯灭。由“数据显示”给出第一次测量总时间。重复上述步骤，可进行最多5次测量(P1,P2,P3,P4,P5)。执行键还具有修改功能。如要修改第三组数据，按执行键直至显示xxx.xP3后，重新测量第三组数据。另外仪器可自动计算周期iC并予以储存，以供查询和作多次测量求平均值。（6）按查询键可知每次测量周期(C1C5)，以及多次测量的周期的平均值CA，及当前的周期数n，如显示“NO”表示无数据。例每次测量周期显示：0.767C1，0.765C2，……（7）按自检键：仪器自动依次显示：GoodSC1-N2n1-Nn自动复位P1图3TH－2型转动惯量测量仪面板图示功能置数上调下调执行查询自检返回计时转动摆动复位参量指示数据显示（8）按返回键，系统无条件回到最初状态，清除所有执行数据。