高中数学必修2第二章复习

人教A必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系3种关系3种问题角度问题平行问题垂直问题直线和平面的位置关系平面和平面的位置关系直线和直线的位置关系知识网络直线和直线的位置关系3种关系分类位置关系定义公共点共面直线相交直线有且仅有一个公共点有公共点平行直线共面且没有公共点异面直线异面直线不同在任何一个平面内没有公共点共面直线2个平面的位置关系3种关系位置关系定义公共点个数两个平面平行没有公共点0个两个平面相交有一条公共直线无数直线和平面的位置关系3种关系1、直线在平面α外，则二者的公共点个数是（）A.一个B.至少一个C.至多一个D.无数个C练习2、两条直线没有公共点，则它们的关系是（）平行或异面线面平行线线平行面面平行判定1：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。判定2：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这2个平面平行平行问题3种问题判定1判定2性质1性质2线面平行线线平行面面平行性质1：如果直线a与平面α平行，若经过a的平面β与α的交线为b，则a∥b性质2：如果2个平面平行，则它们被第三个平面所截得的两条交线平行平行问题3种问题判定1判定2性质1性质2如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。直线与平面平行的判定定理abα////abbaa平行问题3种问题注意3个条件要写全a线∥线的证明是关键！如何证明两条直线平行？(1)利用三角形的中位线;(3)平行的传递性(2)利用平行四边形；平行问题3种问题平行的传递性：a∥b，a∥c，则b∥c如何证明一个四边形是平行四边形？（1）一组对边平行且相等；（2）两组对边分别平行平行问题3种问题四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F是所在侧棱中点，求证：EF∥平面PAB证明：设PA的中点为M，连接ME,MB,在△PAD中，ME平行且等于AD的一半，故ME平行且等于BF，故四边形MEFB是平行四边形，于是EF∥MB,又EF在平面PAB外，MB在平面PAB内，故EF∥平面PAB平行问题3种问题典型例题1.平行于同一平面的二直线的位置关系是(）（A）一定平行（B）平行或相交（C）相交（D）平行，相交，异面D2判断：直线a∥平面α，则直线a平行于α内的任意直线错平行问题3种问题练习（A）平行（B）（C）（D）相交平行或相交平行或异面3、直线a//平面，那么直线a与平面内直线b的位置关系是：平行问题3种问题ABCDEFGH4、空间四边形ABCD中E，F，G，H分别是各边中点。则图中与面EFGH平行的边有（）条。（A）1（B）2（C）0（D）4B平行问题4种问题5、平行于同一平面的二直线的位置关系是（）（A）一定平行（B）平行或相交（C）相交（D）平行，相交，异面D平行问题4种问题6、点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有条。无数平行问题3种问题线线垂直线面垂直面面垂直性质1判定2判定1：如果一条直线与平面内的2条相交直线垂直，则这条直线和这个平面垂直判定2：如果一个平面内经过另一个平面的垂线，则这2个平面垂直性质2垂直问题3种问题判定1线线垂直线面垂直面面垂直性质1判定2性质1：如果两条直线都与一个平面垂直，则这两条直线平行性质2：如果两个平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面性质2垂直问题3种问题判定1直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。n,m,m与n相交，lm,ln,l1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线L性质定理2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行垂直问题3种问题线线垂直平面几何的方法立体几何的方法1、勾股定理2、等腰（边）三角形底边上的中线与底边垂直3、正（长）方形的特点两条平行线中的一条与某直线，则另一条也垂直于该直线直线a与平面α垂直，则a垂直于α内的任意直线）4、直径对的圆周角为90度垂直问题3种问题在正方体AC1中，O为下底面的中心，求证：AC⊥面D1B1BD证明：∵ABCD为正方形，所以ACBD,又因为在正方体中，BB1⊥平面ABCD，所以ACBB1,又BD∩BB1=B,故AC⊥面D1B1BD垂直问题3种问题典型例题（1）l,mlm（2）n,m,lm,ln,l（3）l,mlm（4）l//m,lm//判断对错对对垂直问题3种问题如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直ABDC两个平面垂直的判定定理αβABβABαβ垂直问题3种问题线⊥面得到面⊥面在正方体ABCD－A1B1C1D1中，111ACCAABD平面平面求证：ABCDA1B1C1D1垂直问题3种问题典型例题证明：因为是正方体，所以AC⊥BD，又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD，因为AC∩BD=O,所以BD⊥平面ACC1A1故命题得证O四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EBD⊥平面ABCD.FESDCBA证明：连接AC，BD，交点为F，连接EF，EF是△SAC的中位线，∴EF//SC.直线EF⊥平面ABCD直线EF在平面EBD内故平面EBD⊥平面ABCD垂直问题3种问题（1）两条异面直线成的角将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于90°的角即为二者所成的角ab（1）作，作出所求的角；（2）证明该角是所求；（3）在三角形中计算该角的大小或用余弦定理计算余弦；若异面直线a，b成的角为直角，则称a垂直b，记为a⊥b成角问题3种问题特殊角度的三角函数值角0o30o45o60o90o120o135o150osin0costan成角问题3种问题在求解异面直线所成的角时有时需要用到余弦定理abcbaC2cos222△ABC中，abcC成角问题3种问题例：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是（）．A．30°B．45°C．60°D．90°解：在图形中，将AC平行移动到A1C1，再连接A1B，则△A1BC1是一个等边三角形，A1C1与BC1所成的角为60°,所以AC与BC1所成角的大小也是60°，选C.成角问题3种问题（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？例正方形ABCD－A1B1C1D1．求：BB1∥CC1,所以∠A1BB1为所求，大小为45°BB1∥CC1,所以∠A1B1B为所求，大小为90°（3）A1B与B1C所成的角是多少度？A1B∥D1C,所以∠D1CB1为所求，易知△D1B1C为正三角形，故所求角大小为60°（1）A1B与CC1所成的角是多少度？成角问题3种问题1111ABCDABCD中12,1AAABBC2、四棱柱45求异面直线A1B与AD1所成的角的余弦成角问题3种问题正方体中，E,M为所在棱中点，求AE与BM所成角的余弦11222AF=AE=5aEF=2a(5a)+(5a)-(2a)4cosEAF==525a5a，，由余弦定理成角问题3种问题（2）线面角---直线和平面所成的角AlOB直线L是的斜线时,作AB⊥α于B，直线L与平面α的交点是Ol∠AOB（锐角）即为与所成的角l成角问题3种问题00la与所成角为090la与所成角为直线与平面所成角斜线与平面所成角注意:0090,00090,0,//时或ll,时l成角问题3种问题判断①两平行线和同一平面所成的角相等②两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平行直线③一条直线和两个平行平面所成的角相等√×√成角问题3种问题（1）A1B与平面ABCD所成的角在正方体中，求（2）A1B与平面BDD1B1所成的角∠A1BA=45°∠A1EB=30°E成角问题3种问题EFG正三棱柱，AC=1,A’A=2,求A’C与平面ABB’A’成的角的正弦解：取A’B’的中点为D,则C’D垂直于平面ABB’A’,角C’AD为所求的角成角问题3种问题3、二面角成角问题3种问题成角问题3种问题αβABCDO以二面角的棱上任意一点为O端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线OA,OB,这两条射线所成的∠AOB叫做二面角的平面角,求二面角即求其平面角二面角的范围是[0,π]平面角的特征（1）顶点在棱上；（2）两条边分别在2个平面内，且均垂直于棱；二面角的平面角成角问题3种问题正方体棱长为2，求二面角A-B’C-B的正切解：取B’C的中点O，连AO，BO,∵AB’=AC,所以AO⊥B’C,又因为是正方体，所以BO⊥B’C；故∠AOB为所求二面角的平面角ABtanAOB==2BO成角问题3种问题二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小(往往要用锐角的三角函数或余弦定理）一“作”二“证”三“计算”成角问题3种问题