卡尔曼滤波方法

3卡尔曼滤波方法3.1卡尔曼滤波的特点及应用领域3.2系统的状态空间描述3.3卡尔曼滤波的直观推导3.4卡尔曼滤波的递推运算方程3.5卡尔曼滤波的结构图3.6卡尔曼滤波的应用实例3.7联邦卡尔曼滤波3.8联邦卡尔曼滤波的应用实例3.9Unscented卡尔曼滤波23.1卡尔曼滤波的特点及应用领域•卡尔曼滤波(KalmanFiltering)是1960年由R.E.Kalman首次提出的一种估计方法。之所以称为滤波，是因为它是一种排除随机干扰，提高检测精度的一种手段。•KF是基于最小方差准则推导出来的一种线性滤波器。•KF是一种时域递推算法，根据上一状态的估计值和当前状态的观测值推出当前状态，不需存储大量的历史数据，便于计算机实现。•KF要求明确已知系统模型。即在应用卡尔曼滤波之前，首先要建立系统模型和观测模型，并假定过程噪声、观测噪声为高斯白噪声。•应用领域：机器人导航、目标跟踪、组合导航等。其中，组合导航是卡尔曼滤波最成功的应用领域。33.2系统的状态空间描述•连续系统模型：-------------状态方程-------------观测方程维向量函数。维和——维随机测量噪声；——维系统随机干扰；——维观测向量；——维状态向量；——mnthtfmtVptWmtZntX)(),()()()()(4系统的状态空间描述(续)53.3卡尔曼滤波的直观推导则设想：，的最优线性估计且已得到次测量结果时刻已获得假设在1|11121ˆ},,,,,{kkkkkXXZZZZkk1|1|1|11,1|ˆˆˆˆkkkkkkkkkkkXHZXX得预测测量估计偏差：1|1|1|ˆˆ~kkkkkkkkkXHZZZZ利用此偏差修正预测估计：]ˆ[ˆˆ11|kkkkkkkkkXHZKXX待定校正增益阵6卡尔曼滤波的直观推导(续)增益阵的求法：极小化使目标函数]~~[||kkTkkXXEkkkkkkkkkkXXXXXXˆ~ˆ~|11|定义：：滤波器的递推运算方程卡尔曼求得增益阵，进而求得极小，使]~~[|||TkkkkkkXXEP73.4卡尔曼滤波的递推运算方程111,1ˆˆkkkkkkXX状态预测TkkkkkTkkkkkkkkQPP1,11,1,111,1方差预测111][kTkkkkTkkkkRHPHHPK增益矩阵11|~ˆˆkkkkkkkZKXX状态估值方差估值1][kkkkkkPHKIP时间更新/预测测量更新/修正000000ˆˆPPXX初始条件]ˆ[~11kkkkkkXHZZ新息序列83.5卡尔曼滤波的结构图延时一步1,kkkZ+-1|kkZkKkXˆ++当前估计值上一步估计值1|ˆkkXkH一步预测1ˆkX上述递推公式，称为卡尔曼滤波器。实际上，卡尔曼滤波器也是一个系统，其结构框图如下：93.6卡尔曼滤波的应用实例(舰船导航)•状态变量TENKSVVkX)(1、系统模型卡尔曼滤波最成功的工程应用是设计运载体的高精度组合导航系统。下面以舰船导航问题为例，介绍其具体应用。式中，舰船航向变化率。—舰船航向；—船舶相对于水的速度；—量；海流北向和东向速度分—和经度弧长和纬度弧长；—和KSVVEN10为独立的零均值高斯白噪声,b为海流相关时间常数。)7,,2,1(ii•状态方程7654321sincos,KSbVVbVVKSVKSVWtXfXNNEEEN43214321vKvSvvzzzz•观测方程量测系统由GPS和航位推算系统(DR)组成，GPS输出舰船的经纬度φ和λ。DR由罗经和计程仪组成，分别输出航向K和船相对于水流的速度S。112、初始条件和参数选取123、仿真结果(a)133、仿真结果(b)143、仿真结果(c)153.7联邦卡尔曼滤波•卡尔曼滤波最成功的工程应用是设计运载体的高精度组合导航系统。为了与联邦滤波方法相区别，将普通的卡尔曼滤波称为集中卡尔曼滤波。•由于对导航精度要求的提高，导航设备越来越多。另一方面，现代系统向大系统和复杂系统的方向发展。这种情况下采用集中式卡尔曼实现组合导航，存在两个问题：–计算负担重。滤波器计算量以状态维数的三次方剧增，无法满足导航的实时性要求；–容错性能差，不利于故障诊断。当任一导航子系统发生故障，且没有及时检测出并隔离时，则整个导航系统都会被污染，使输出的信息不可靠。•为解决上述问题，出现了分散化滤波的思想和方法。其中，Carlson在1988年提出的联邦滤波由于设计灵活、计算量小、容错性好而受到重视，已被美国空军确定为新一代导航系统的通用滤波器。16联邦滤波器示意图子滤波器1状态估计1主滤波器信息融合信息分配全局状态估计子滤波器2子滤波器n状态估计2状态估计n17方法思想•在诸多非相似导航子系统中选择导航信息全面、输出速率高、可靠性好的子系统（如惯性导航系统）与其余导航子系统两两结合，形成若干子滤波器。•各子滤波器并行运行，获得建立在局部量测基础上的局部最优估计。•各局部最优估计在第二级滤波器（即主滤波器）内按融合算法合成，获得建立在所有量测基础上的全局估计。•全局估计再按信息守恒原则反馈给各子滤波器。如此反复递推。实际设计的联邦滤波器是全局次优的，但是对于自主性要求很高的重要运载体来说，导航系统的可靠性比精度更重要。采用联邦滤波器设计组合导航系统，虽然损失了少许精度，但得到的是组合导航系统的强容错能力。18联邦滤波器算法•信息融合其中，为N个不相关的局部状态估计，为相应的估计误差协方差。NXXXˆ,,ˆ,ˆ21NNPPP,,,2211,ˆˆ11NiiiiggXPPX111NiiigPP对于来自各子滤波器信息（状态估计值和误差方差估计），在主滤波器按以下规则进行融合：19•信息分配,ˆˆgiXX,1giiiPP1111mNiiQQQ其中，为信息分配系数，为主滤波器的信息分配系数，满足守恒原则mNii,,,1,11mNii,1QQmim在进入下一次递推之前，需将主滤波器中的信息（状态、方差）在各子滤波器中按如下规则进行分配：联邦滤波器算法20联邦卡尔曼滤波器结构信息分配卡尔曼滤波信息融合联邦卡尔曼滤波器21联邦卡尔曼滤波器结构图注：组合导航中，一般选择可靠性好的系统作为参考系统，如惯性导航系统。22联邦卡尔曼滤波器的应用01002003004005006007008009001000-150-100-50050100150联邦卡尔曼滤波算法集中卡尔曼滤波算法时间/s经度弧长估计误差/m仍然以舰船导航为例，模型与前面相同。为了与集中卡尔曼滤波器的效果相比较，同时采用两种滤波器滤波。01002003004005006007008009001000-200-150-100-50050100150联邦卡尔曼滤波算法集中卡尔曼滤波算法维度弧长估计误差/m时间/s23联邦卡尔曼滤波器的应用(续)图中可以看出，联邦卡尔曼滤波与集中卡尔曼滤波算法的估计精度相当，但联邦卡尔曼滤波相对于集中卡尔曼滤波，不仅有更好的容错性，而且可以并行运算。1002003004005006007008009001000-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6联邦卡尔曼滤波算法集中卡尔曼滤波算法海流北向速度分量估计误差/(m/s)时间/s1002003004005006007008009001000-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4联邦卡尔曼滤波算法集中卡尔曼滤波算法海流东向速度分量估计误差/(m/s)时间/s243.9Unscented卡尔曼滤波UKF方法的建立是基于如下的事实：逼近任意的分布比逼近它的任何非线性函数更容易。UKF的基础是Unscented变换(UnscentedTransformation,UT)，其基本思想是用一组确定的离散采样点(称为Sigma点)来近似状态变量的分布。UKF假定状态满足高斯分布，因此只需逼近其均值和方差。对于如下的非线性变换：假设已知n维随机向量x的均值和协方差，则对上述非线性系统进行滤波的目的是计算y的均值和方差。xxPyyP)(xfy-----------------(3-1)250,2,,1,))((,,1,))((ixnniPnxniPnxixixi1.构造Sigma点ixxPxx构造一组采样点的附近在，和协方差的均值根据随机向量0为可调尺度参数，调整它可以提高逼近精度。2.利用Sigma点进行非线性传播将上面构造的Sigma点直接按照(3-1)的关系作非线性变换，则产生一组变换样本点)(iifY26UKF的具体应用过程Unscented卡尔曼滤波算法基于如下的非线性离散状态空间模型：kkkkwxfx)(1kkkkvxhy)(•时间更新与卡尔曼滤波一样，Unscented卡尔曼滤波也是由“时间更新”和“测量更新”构成，具体如下：)(11|ikkikkfniikkmikWx201|)(ˆkkikknikikkcikxQxxWPT1|201|)(,]ˆ[]ˆ[27UKF的具体应用过程(续)•测量更新，)(1|1|ikkikkhikknimikWy1|20)(ˆkTkikkkniikkcikyRyyWP]ˆ][ˆ[1|201|)(,TkikkkikknicikxyyxWP]ˆ][ˆ[1|1|20)(,1,,kykxyPPK)ˆ(ˆˆkkkkyyKxxTkykxkxKKPPP,,,