人教版八年级数学上册教学课件《最短路径问题》

第十三章●第四节最短路径问题人民教育出版社八年级|上册引入新知前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识来解决它们。问题引入相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl问题引入精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl知识点详解这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。B··Al你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；BAlC知识点详解你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点。设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）。BAlC知识点详解如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问1如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？BAlC知识点详解如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？BAlC作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C。则点C即为所求。B’知识点详解你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′。由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′。∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′。在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′。即AC+BC最短。BAlCB’C’知识点详解追问证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小。BAlCB’C’知识点详解例题详解如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ABNMC作法：1。将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到C，2。连接BC交河对岸与点N，则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。练习题1.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是()A。(－2，0)B。(4，0)C。(2，0)D。(0，0)C练习题2.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径。ABCPQ山河岸大桥基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路。将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”。课堂小结1.最短路径问题的类型：(1)两点一线型的线段和最小值问题；(2)两线一点型线段和最小值问题；(3)两点两线型的线段和最小值问题；(4)造桥选址问题。2.解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值。