《离散数学》题库及答案

1《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？(A)(1)Q=Q→P(2)Q=P→Q(3)P=P→Q(4)P(PQ)=P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?()(1)P=PQ(2)PQ=P(3)PQ=PQ(4)P(P→Q)=Q(5)(P→Q)=P(6)P(PQ)=P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式x((A(x)B(y，x))zC(y，z))D(x)中，自由变元是()，约束变元是()。答：x,y,x,z（考察定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在xA和xA的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和zC(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。()(1)北京是中华人民共和国的首都。(2)陕西师大是一座工厂。(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。(5)前进！(6)给我一杯水吧！2答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”）7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）PQ（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个形式的）（2）QP（3）QP（4）QP8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。(1)xy(x+y=0)(2)yx(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)xy(xy=y)()(2)xy(x+y=y)()(3)xy(x+y=x)()(4)xy(y=2x)()答：（1）F(反证法：假若存在，则（x-1）*y=0对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾)（2）F（同理）（3）F（同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x很明显是正确的）10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?()(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）（在某个体域中满足不是奇数就是偶数，在整数域中才满足条件，而自然数子整数的子集，当然满足条件了）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。3答：2不是偶数且-3不是负数。12、永真式的否定是（）(1)永真式(2)永假式(3)可满足式(4)(1)--(3)均有可能答：（2）（这个记住就行了）13、公式(PQ)(PQ)化简为（），公式Q(P(PQ))可化简为（）。答：P，QP（考查分配率和蕴含等值式知识的掌握）14、谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中量词x的辖域是（）。答：P(x)yR(y)（一对括号就是一个辖域）15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。答：x(R(x)Q(x))（集合论部分）16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（）。(1){a}P(A)(2){a}P(A)(3){{a}}P(A)(4){{a}}P(A)答：(2)（{a}是P（A）的一个元素）17、在0（）之间写上正确的符号。(1)=(2)(3)(4)答：(4)（空集没有任何元素，且是任何集合的子集）18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。答：32（2的5次方考查幂集的定义，即幂集是集合S的全体子集构成的集合）19、设P={x|(x+1)24且xR},Q={x|5x2+16且xR},则下列命题哪个正确（）(1)QP(2)QP(3)PQ(4)P=Q答：（3）（Q是集合R，P只是R中的一部分，所以P是Q的真子集）20、下列各集合中，哪几个分别相等()。4(1)A1={a,b}(2)A2={b,a}(3)A3={a,b,a}(4)A4={a,b,c}(5)A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}(6)A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}答：A1=A2=A3=A6，A4=A5（集合具有无序性、确定性和互异性）21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？()(1)A=Ф(2)B=Ф(3)AB(4)BA答：（4）（差集的定义）22、判断下列命题哪个为真?()(1)A-B=B-A=A=B(2)空集是任何集合的真子集(3)空集只是非空集合的子集(4)若A的一个元素属于B，则A=B答：（1）（考查空集和差集的相关知识）23、判断下列命题哪几个为正确？()(1){Ф}∈{Ф,{{Ф}}}(2){Ф}{Ф,{{Ф}}}(3)Ф∈{{Ф}}(4)Ф{Ф}(5){a,b}∈{a,b,{a},{b}}答：（2），（4）24、判断下列命题哪几个正确？()(1)所有空集都不相等(2){Ф}Ф(4)若A为非空集，则AA成立。答：（2）25、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B()C。答：=（等于）26、判断下列命题哪几个正确？()(1)若A∪B＝A∪C，则B＝C(2){a,b}={b,a}(3)P(A∩B)P(A)∩P(B)（P(S)表示S的幂集）(4)若A为非空集，则AA∪A成立。答：（2）27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：(1)AB，BC=AC(2)AB，BC=A∈B(3)A∈B，B∈C=A∈C答：（1）（（3）的反例C为{｛0，1｝，0｝B为｛0，1｝，A为1很明显结论不对）5（二元关系部分）28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2求(1)R(2)R-1答：（1）R={1,1,4,2}(2)R1={1,1,2,4}（考查二元关系的定义，R1为R的逆关系，即R1=｛x,y｝|y,x∈R）29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。()答：A上的恒等关系30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？()答：自反性、对称性和传递性31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？()答：自反性、反对称性和传递性(题29，30，31全是考查定义)32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)RR(2)R-1。答：RR={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}（考查FG={x,y|t(x,t∈Ft,y∈G)}）R-1=｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R={()}R={1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,2,6,3,6}34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R(2)R-1。答：（1）R={1,1,4,2,6,3}(2)R1={1,1,2,4,(36}35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R-1的关系矩阵。6答：R的关系矩阵=000000001000000001R1的关系矩阵=00000001000000000136、集合A={1,2,…,10}上的关系R={x,y|x+y=10,x,yA}，则R的性质为（）。(1)自反的(2)对称的(3)传递的，对称的(4)传递的答：（2）（考查自反对称传递的定义）（代数系统部分）37、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是()，零元是()。答：2，6（单位元和零元的定义，单位元：e。x=x零元：θ。x=θ）38、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是()，零元是()；答：9，3（半群与群部分）39、设〈G,*〉是一个群，则(1)若a,b,x∈G，ax=b，则x=()；(2)若a,b,x∈G，ax=ab，则x=()。答：（1）a1b（2）b（考查群的性质，即群满足消去律）40、设a是12阶群的生成元，则a2是()阶元素，a3是()阶元素。答：6,441、代数系统G,*是一个群，则G的等幂元是()。答：单位元（由a^2=a,用归纳法可证a^n=a*a^(n-1)=a*a=a，所以等幂元一定是幂等元，反之若a^n=a对一切N成立，则对n=2也成立，所以幂等元一定是等幂元，并且在群G,*中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元）42、设a是10阶群的生成元，则a4是()阶元素，a3是()阶元素7答：5，10（若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元a生成的，并且用符号G=a表示，且称a为一个生成元。并且一元素的阶整除群的阶）43、群G,*的等幂元是()，有()个。答：单位元，1（在群G,*中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元）44、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。答：循环群，任一非单位元（证明如下：任一元素的阶整除群的阶。现在群的阶是素数p，所以元素的阶要么是1要么是p。G中只有一个单位元，其它元素的阶都不等于1，所以都是p。任取一个非单位元，它的阶等于p，所以它生成的G的循环子群的阶也是p，从而等于整个群G。所以G等于它的任一非单位元生成的循环群）45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1)若ca=b，则c=()；(2)若ca=ba，则c=()。答：（1）b1a(2)b（群的性质）46、H,,是G,,的子群的充分必要条件是()。答：H,,是群或a，bG，abH，a-1H或a,bG，ab-1H47、群＜A,*＞的等幂元有()个，是()，零元有()个。答：1，单位元，048、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是()。答：k49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1)a*b=a-b(2)a*b=max{a,b}(3)a*b=a+2b(4)a*b=|a-b|答：(2)50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。(1)不可能是群(2)不一定是群(3)一定是群(4)是交换群答：(1)51、6阶有限群的任何子群一定不是（）。8(1)2阶(2)3阶(3)4阶(4)6阶答：(3)（格与布尔代数部分）52、下列哪个偏序集构成有界格（）(1)（N,）(2)（Z,）(3)（{2,3,4,6,12},|（整除关系））(