六年级上册数学教案学案讲义圆分数观察物体

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来【知识改变命运教育成就未来】专题《圆的周长、面积》学员姓名科目：数学年级：课题圆的周长、面积教学目标1、1、认识圆2、会计算圆的周长、面积重点难点考点1、重点是认知圆2、难点是求阴影部分的面积3、考查圆的周长、面积宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来圆：古人最早是从太阳，月亮得到圆的概念的，那是什么人作出第一个圆的呢？18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔。石器的尖是圆心o，它的宽度叫直径d，宽度的一半称半径r，这样用石尖不停地转圈就能钻出一个圆孔。到了陶器时代，许多陶器都带圆形。做法是将泥土放在一个转盘上旋转制作。6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重物的下面滚着走，这样就比扛着走省劲得多。大约在6000多年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念：一中同长也——圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年。圆，是数学中最基本的一个概念，其中却潜在地蕴涵了极其丰富的内涵。我们从今天的开始认识圆、学习圆、探索圆。宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来知识要点一、圆的直径→圆心→半径→圆是轴对称图形直径：半径：同圆中，直径是半径的倍圆是_________图形，有__________对称轴，半圆有__________对称轴。圆规两脚间的距离是__________________判断下面各题：(1)两端都在圆上的线段叫做直径。()(2)半径决定着圆的大小,圆心决定着圆的位置。（）(3)所有的半径都相等,所有的直径都相等。()(4)圆是轴对称图形，对称轴是它的任意一条直径。（）二、圆周率→圆的周长→圆弧的长度→半圆的周长→组合图形的周长圆心决定圆的,半径决定圆的圆周率是和的商，用字母表示圆周率是_小数，近似为___圆的周长公式,半圆的周长公式,半圆弧的周长宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来小试一下：一种矿山用的大卡车车轮直径是1.95米，车轮滚动一周约前进多少米？(π=3.14，结果保留一位小数)三、转化求圆的面积→圆环的面积→扇形的面积→组合图形的面积→阴影部分面积圆拼成长方形，长方形的长就相当于_____________，长方形的宽就是______填空:（1）圆可以剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于圆周长的（），宽是圆周长的（）。（2）在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆，圆的面积是（）平方分米（3）有同一个圆心的圆叫（）圆，圆心位置不同而半径相等的圆叫（）圆（4）圆内两端都在圆上的线段有（）条，其中（）最长。圆的直径和半径都有（）条。（5）在边长为8厘米的正方形中剪下一个最大的圆，这个圆的直径为（）。下面图形中，正方形的面积?圆的面积？阴影部分面积？宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来四、半径扩大几倍，直径扩大几倍，周长扩大几倍，面积扩大几倍（1）如果把一个圆的半径扩大到原来的2倍，则周长就会扩大到原来的（）倍，面积就会扩大到原来的（）倍。（2）一个圆的直径扩大5倍，它的面积扩大（）倍。经典例题1、下面的图形是一个边长为10厘米的正方形，计算阴影部分的面积是多少平方厘米？2、小明和爷爷分别沿小圆(A→B→C→D→E→A)和大圆两条路线散步．(如图)如果速度相同，两人同时出发，谁先回到出发地点？为什么？课堂巩固1、填空题。（1）一个圆坛的周长是6π米，它的直径是（）米，花坛占地（）平方米。宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来（2）在边长为8厘米的正方形中剪下一个最大的圆，这个圆的直径为（）。（3）一个圆的直径扩大5倍，它的面积扩大（）倍。（4）某圆的直径是24厘米，那用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是（）厘米。（5）一个圆与一个长方形的面积相等，圆的直径是4厘米，若长方形的长是4厘米，那么宽是（）厘米。2、判断（1）半径为2厘米的圆的周长和面积相等。（）（2）圆周率是周长和半径的商。（）（3）半径是射线，直径是直线。（）（4）通过圆心的线段是直径。（）（5）两条半径的长度等于一条直径的长度。（）3、一只圆形时钟的时针长6厘米，从数字12走到6，这根时针扫过的面积是多少平方厘米？这根时针针尖走过得距离？4、下面图形的面积怎么求?宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来课后练习1、选择题(1)一个圆的周长是31.4米，它的面积是（）平方分米。A、78.5B、15.7C、314（2）如右图，半圆所在的圆的半径=5厘米，它的周长是（）厘米。A、78B、25.7C、31.4（3）直径是通过圆心并且两端都在圆上的（）A、线段B、射线C、直线2、判断（1）π是一个近似数。（）（2）如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的面积也一定相等。（）（3）内、外圆半径的长短决定环形面积的大小。（）（4）圆的直径是圆的对称轴。（）应用题：1、一个半圆形的花坛，它的面积是56.52平方米，求这个花坛的周长是多少？2、在一个直径为18米的圆形草地周围铺一条宽4米的环形道路，求这条环形路的面积是多少？宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来3、一种钟表，秒针的长度是5厘米，1分钟后秒针尖尖端走过的距离是多少？4、你能在边长为4的正方形中画一个面积最大的圆吗？如果剪去这个最大的圆，剩下部分的面积是多少？宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来附：拓展了解圆和圆周率(pai)π圆无处不在：圆饼干、圆盘、圆碗衣服的圆形纽扣、扣子圆形建筑物：城堡圆形手表、齿轮新型独轮车圆月、星空综合观察上面的图片，联系生活实际，我们可以知道圆无处不在，吃穿住用行等，到处都有【用圆的形状特点来设计各种吃的、穿的、房屋、工具】等，不仅实现了功能，且十分美丽，因为它匀称、没有棱角，有无数条对称轴，是完美、美满的代名词！追本溯源之圆的简史：宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。圆周率发现：宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来圆周率计算的发展时期：任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说周三径一，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现周三径一只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π=3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。如今有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后五万亿位小数了。实验时期一块古巴比伦石匾（约产于公元前1900年至1600年）清楚地记载了圆周率=25/8=3.125。同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书（RhindMathematicalPapyrus）也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。[5]埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。英国作家JohnTaylor(1781–1864)在其名著《金字塔》（《TheGreatPyramid:Whywasitbuilt,andwhobuiltit?》）中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》（SatapathaBrahmana）显示了圆周率等于分数339/108，约等于3.139。宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来几何法时期古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7，并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取。汉朝时，张衡得出，即（约为3.162）。这个值不太准确，但它简单易理解。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率和约率。密率是个很好的分数近似值，要取到才能得出比略准确的近似。（参见丢番图逼近）宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托（ValentinusOtho）得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯（Metius）的著作中，欧洲称之为Metius'number。约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为。婆罗摩笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（LudolphvanCeulen）于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道