几何证明选讲综合练习题

几何证明选讲综合练习题1.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则AF∶FC=（）2.从不在⊙O上的一点A作直线交⊙O于B、C，且AB·AC=64，OA=10，则⊙O的半径等于（）3.如图所示，AC为⊙O的直径，BD⊥AC于P，PC=2，PA=8，则CD的长为（），cos∠ACB=（）4.如图所示，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=32，PC=1，则圆O的半径等于（）5.如图所示，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于G，EC的长为8，则EG=（）6.如图所示，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，则AF=（）AC7.如图所示，在半圆O中，AB为直径，CD⊥AB，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，则图中相似三角形一共有（）对8.已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=（）9.如图所示，矩形ABCD中，AB=12，AD=10，将此矩形折叠使点B落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为（）10.如图所示，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC=60°，∠BAC=36°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连结EC，则∠OEC=（）11.已知：以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，连接EB，DC的延长线交BE于F.求证：EF=BF.12.已知：在△ABC中，D是BC的中点，F是BA延长线上的点，FD与AC交于点E.求证：AE·FB=EC·FA.13.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：ABBFAE3CD.14.在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF=2DE·AF.15.已知：从Rt△ABC的两直角边AB，AC向外作正方形ABFG及ACDE，CF，BD分别交AB，AC于P，Q.求证：AP=AQ.16.已知：在△ABC中，AB=AC，O是△ABC的外心，延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：O，A，P，Q四点共圆.17.圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=72，AB=BC=3.求BD以及AC的长.18.△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP是∠BAC的外角的平分线，弦CE的延长线交AP于点D.求证：DCDEAD2.19.圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.（1）求证：△DFE∽△EFA；（2）如果EF=1，求FG的长.20.已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2交于点G.（1）求证：∠EAG=∠EFG；（2）若⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，AC=10，AG切⊙O2于G，求线段AG的长.21.从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A，B为切点.求证：BCAC=BDAD.22.已知：△ABC内接于⊙O，过点A的切线交BC的延长线于点P，D为AB的中点，DP交AC于M.求证：22PCPA=MCAM.几何证明选讲综合练习题答案1.212.241或63.25554.75.46.317.58.39.66510.12°11.证明连接AE交DC于O.∵四边形ACED为平行四边形，∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）.∵四边形ABCD是梯形，∴DC∥AB.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，∴F是EB的中点，即EF=BF.12.证明过A作AG∥BC，交DF于G点.∵AG∥BD，∴FBFA=BDAG.又∵BD=DC，∴FBFA=DCAG.∵AG∥CD，∴DCAG=ECAE.∴FBFA=ECAE.∴AE·FB=EC·FA.13.证明∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·BD，故CD4=AD2·BD2.又∵Rt△ADC中，DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC，∴AD2=AE·AC，BD2=BF·BC.∴CD4=AE·BF·AC·BC.又∵AC·BC=AB·CD，∴CD4=AE·BF·AB·CD，即AE·BF·AB=CD3.14.证明过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN=21BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴AFAE=DNDE.又DN=21BF，∴AFAE=BFDE2，即AE·BF=2DE·AF.15.证明∵∠BAC+∠BAG=90°+90°=180°,∴C,A,G三点共线.同理B,A,E三点共线.∵AB∥GF,AC∥ED,∴GFAP=CGCA，EDAQ=BEBA，即AP=CGGFCA，AQ=BEEDBA.又∵CA=ED=AE，GF=BA=AG，∴CG=CA+AG=AE+BA=BE.∴AP=AQ.16.证明连接OA，OC，OP，OQ.∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.∴∠OCP=∠OAC.由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，∴∠OAC=∠OAQ，从而∠OCP=∠OAQ，在△OCP和△OAQ中，由已知CA=AB，AP=BQ，∴CP=AQ.又OC=OA，∠OCP=∠OAQ，∴△OCP≌△OAQ，∴∠CPO=∠AQO，∴O，A，P，Q四点共圆.17.解由切割线定理得：DB·DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，DB2+3DB-28=0，得DB=4.∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴CABC=DCDB，得AC=DBDCBC=273.18.证明连接AE，则∠AED=∠B.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∵∠QAC=∠B+∠ACB，又∠QAP=∠PAC，∴∠DAC=∠B=∠AED.又∠ADE=∠CDA，∴△ACD∽△EAD，从而ADCD=DEAD，即AD2=DE·DC.19.（1）证明∵EF∥CB，∴∠DEF=∠DCB.∵∠DCB=∠DAB，∴∠DEF=∠DAB.∵∠DFE=∠EFA，∴△DFE∽△EFA.（2）解∵△DFE∽△EFA，∴FAEF=EFFD.∴EF2=FA·FD.∵FG切圆于G，∴FG2=FA·FD.∴EF2=FG2.∴EF=FG.∵EF=1，∴FG=1.20.（1）证明连接GD，因为四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°.即A，E，G，F四点共圆，∴∠EAG=∠EFG.（2）解因为⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，所以由垂径定理知FC=22235=8，又AC=10,∴AF=2,∵AG切⊙O2于G，∴AG2=AF·AC=2×10=20,AG=25.21.证明∵PA为⊙O的切线，∴∠PAC=∠PDA，而∠APC=∠DPA，∴△PAC∽△PDA，则ADAC=PDPA.同理BDBC=PDPB.∵PA=PB，∴ADAC=BDBC.∴BCAC=BDAD.22.证明如图所示，过点B作BN∥CM，交PD的延长线于点N，则∠N=∠AMD，∠NBD=∠DAM.又AD=DB，∴△BND≌△AMD.∴BN=AM.∵CM∥BN，∴CMBN=CPBP.∴PCBP=MCAM.由切割线定理，得PA2=PC·PB.∴22PCPA=2PCPBPC=PCBP，故22PCPA=MCAM.