函数与方程教案

1函数与方程一．函数的零点与方程的根1.二次函数(1)定义：形如2()(0)fxaxbxca的函数叫二次函数.(2)图像：二次函数2()(0)fxaxbxca的图像是抛物线，对称轴方程为___________，顶点坐标为_______________.①当a0时，图像开口________，函数在_________上递减，在__________上递增；②当a0时，图像开口________，函数在_________上递减，在__________上递增.(3)二次函数的解析式的三种形式：一般式：_________________；顶点式：_________________；两根式：_________________.(4)二次函数的零点：①△＞０，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图像与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．②△＝０，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图像与x轴有一个交点，二次函数有一个零点．③△＜０，方程02cbxax无实根，二次函数的图像与x轴无交点，二次函数无零点．2.函数与方程(1)函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数．．x叫做函数))((Dxxfy的零点。(2)函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图像与x轴交点的_________。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图像与x轴有交点函数)(xfy有零点．(3)函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(xf的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．(4)零点存在性定理：如果函数xfy在区间ba,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0fafb，那么函数xfy在区间ba,内有零点，并且至少存在一个。即存在bac,使得0cf这个c也就是方程0xf的根。(5)零点唯一性定理：如果函数xfy在（1）区间ba,上的（2）图像是连续不断的一条曲线，当函数xfy在区间ba,上是（3）增函数或是减函数时，并且有（4）0fafb，那么函数xfy在区间ba,内有且仅有一个零点。即唯一存在bac,使得0cf。二．二分法1.二分法的定义对于在区间a[，]b上连续不断，且满足)(af·)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2.用二分法求函数零点的步骤给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a[，]b，验证)(af·)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：①若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；②若)(af·)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10xax）；③若)(1xf·)(bf0，则令a=1x（此时零点),(10bxx）；（4）判断是否达到精度；即若||ba，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4。3.注：函数零点的性质2从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相切，则零点0x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相交，则零点0x通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(af·)(bf0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定2.设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]3.若方程lnx＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0的小整数是.4.若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A.f(x)＝4x－1B.f(x)＝(x－1)2C.f(x)＝ex－1D.f(x)＝ln(x－12)5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.5B.4C.3D.26.设函数f(x)＝2221,,2xxxxx(-,1)则函数F(x)＝f(x)－14的零点是.7.若二次函数y＝ax2＋bx＋c中a·c0，则函数的零点个数是()A.1个B.2个C.0个D.不确定8.已知函数f(x)＝x|x－4|－5，则当方程f(x)＝a有三个根时，实数a的取值范围是.A.－5＜a＜－1B.－5≤a≤－1C.a＜－5D.a＞－19.若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是.10.已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；(2)若12＜t＜34，求证：方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根.练习1.函数223yxx在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A.,2B.0,2C.1,2D.1,2.关于x的一元二次方程mx2+(m－1)x+m=0没有实数根,则m的取值范围是（A）(－∞,－1)∪(31,+∞)（B）(－∞,－31)∪(1,+∞)（C）[－31,1]（D）(－31,1)3.若函数2()2fxxxa没有零点，则实数a的取值范围是（）A.1aB.1aC.1aD.1a34.函数2()lnfxxx的零点所在的大致区间是（）A.1,2B.2,3C.11,e和3,4D.,e5.根据表中的数据，可以判定方程20xex的一个根所在的区间为（）x10123xe0.3712.727.3920.092x12345A.(1,0)B.0,1C.1,2D.2,36.已知函数3()2(0)fxxdxmd，若满足(2)(3)0ff，则()fx在区间(2,3)上的零点个数是（）A、1B、2C、至少一个D、至少二个7..函数dcxbxaxxf23)(的图象如图所示,则)1()1(ff的值一定A.等于0B.大于0C.小于0D.小于或等于011.函数2()261fxxx在区间1,1上的最小值是______，最大值是_______.12.下列四个图像中，是函数图像的是__________.①②③④13.方程ln280xx的根的个数是______个12.方程xxlg22的实数解的个数为.13.已知函数()()()1(),,()fxxaxbabmnmn是方程f(x)=0的两实根，则实数a,b,m,n的大小关系是_________________。17.已知a是实数，函数axaxxf3222，如果函数xfy在区间1,1上有零点，求a的取值范围.OxyOxyOxyOxy2,4,6