函数的值域与最值练习题

函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念1、值域：函数Axxfy，)(，我们把函数值的集合{|(),}yyfxxA称为这个函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。记作max0yfx最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作min0yfx注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。二、基本函数的值域一次函数）（0abkxy的定义域为R，值域为R；二次函数）（02acbxaxy的定义域为R，；当]44(0);44[022abac，，a，abac，a值域是时值域是时反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为}0/{yy；数函数)10(aaayx且的值域为}0/{yy；对数函数)10(logaaxya且的值域为R；正、余弦:函数的值域1,1；正、余切函数2kx,tanxy,cotxy),(Zkkx的值域为R。三、求函数值域和最值常用的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域（1）观察法(用非负数的性质，如：20x；0x；0(0)xx等)例如：求下列函数的值域：y=-3x2+2变式：y=5+21x(x≥-1)的值域是（2）利用基本函数求值域法：例如：下列函数中值域是（0，+）的是（）A．12yxB.11()5xyC.21yxD.1(0)yxxx（3）配方法：(二次或四次)转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；例如：求值域：y=21xx，xR；x3,1；(1,5]x；[5,1]x变式1：y＝－x2＋4x－1x∈[-1,3)；变式2：求函数y=34252xx的值域.变式3：当]2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是___（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例如：求函数xxy142的值域.变式1：求函数y=3x-x21的值域.变式2：211yxx的值域为_____变式3：249yxx的值域为____变式4：函数21xxy的值域为____变式5：22sin3cos1yxx的值域为_____变式6：求函数)42(5loglog241241xxxy的值域（5）分离常数法：（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy例如：求下列函数的值域：y=12xx({y|y1})变式：函数y=2211xx的值域是（）A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）练习：求函数122xxy的值域（答：1y0）（8）基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用基本不等式公式来求值域；设12,,,xaay成等差数列，12,,,xbby成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是____________.练习：求函数41422xxy的最小值（9）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；求1(19)yxxx的值域为______练习：函数f(x)=xxx1log823的值域函数412)21(xxy的值域（10）数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域已知点(,)Pxy在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围练习：求函数y=22(1)(2)x+22(1)(3)x的值域.（11）导数法：求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。●典例剖析题型一：函数值域问题例1．求下列函数的值域：（1）265yxx；（2）312xyx；（3）41yxx；（4）21yxx；（5）|1||4|yxx；（6）22221xxyxx；（7）2211()212xxyxx；（8）1sin2cosxyx。例2（分段函数法及图像法）求函数y=|x+1|+|x-2|的值域例3设函数2221()loglog(1)log()1xfxxpxx，（1）求函数的定义域；（2）问()fx是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由题型二：最值问题例1．（2002全国理，21）设a为实数，函数2()1fxxxa，xR．（1）讨论()fx的奇偶性；（2）求()fx的最小值．例2：已知函数f(x)=xaxx22,x∈［1,+∞)，(1)当a=21时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围题型三：函数的综合题例1.已知函数()fx的定义域为0,1，且同时满足：(1)对任意0,1x，总有()2fx；(2)(1)3f(3)若120,0xx且121xx，则有1212()()()2fxxfxfx.(I)求(0)f的值；(II)求()fx的最大值；(III)设数列na的前n项和为nS，且满足*12(3),nnSanN.题型四：课标创新题例1．（1）设dcxbxaxxxf234)(，其中a、b、c、d是常数。如果,30)3(,20)2(,10)1(fff求的值)6()10(ff；（2）若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x的取值范围。例2．（2004年广东，19）设函数f（x）=|1－x1|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1.