函数的解析式例题及答案

第1页函数的解析式目标：掌握求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．一、函数的解析式（一）、函数的表示：1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F是函数)(xfy的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、解析法：如果在函数)(xfy)(Ax中，)(xf是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法（二）、函数的解析式求法题型1、代入法例1、()21fxx，求(1)fx题型2、待定系数法例2、二次函数()fx满足(3)(1)fxfx，且()0fx的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求()fx解析式题型3、换元法例3、已知：12fxxx，求fx。练习：1、2134(31)xxfx，求()fx解析式2、2(31)965fxxx，求()fx解析式题型4、消元法（构造方程组法）例4、已知函数fx满足213fxfxx，求函数fx的解析式。第2页练习、()()1fxfxx，求()fx解析式题型5、抽象函数的解析式的求法例5、(06·重庆)已知定义域为R的函数f(x)满足(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x，所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2.又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))-x2+x)=f(x)-x2+x.；又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)-x0.所以对任意x∈R，有f(x)-x2+x=x0.；在上式中令x=x0,有f(x0)-x20+x0=x0,又因为f(x0)-x0，所以x0-x20=0，故x0=0或x0=1.；若x0=0，则f(x)-x2+x=0，即f(x)=x2–x.但方程x2–x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.若x2=1,则有f(x)-x2+x=1，即f(x)=x2–x+1.易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为f(x)=x2–x+1（xR）.题型6、实际应用问题例6、用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x2，求此框架围成的面积y与x的函数解析式.练习：．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*|x≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：5432y1915151010550xxxx(*Nx)（三）提高练习：★【题1】、已知函数f(x)=2x-1,2(()xgx当x0时)-1(当x0时)，求f[g(x)]和g[f(x)]之值。★【题2】、已知函数f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)之表达式★【题3】、已知函数f(x+4)=x+8x+2，求f(x2)之表达式（四）归纳小结：求函数解析式的题型有：1、已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；第3页2、已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、凑配法；3、已知函数图像，求函数解析式；4、()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；5、如果()fx是以抽象函数式给出的：赋值法