分式单元复习与巩固精讲精练

分式单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．重点1．分式的基本性质；2．分式的四则运算；3．分式方程的解法．难点1.分式的四则混合运算；2.根据实际问题列出分式方程．三、知识要点梳理知识点一、分式的有关概念及性质1.分式的定义：设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，则式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.注：判断一个代数式是否是分式，主要看分式的分母是否含有未知数。另外不能把原式变形（如约分等）后再进行判断，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．注：如果分子分母有公因式，要进行约分化简.3.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（M为不等于零的整式）.知识点二、分式的运算1.基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:；2.零指数.3.负整数指数4.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．注：（1）约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，同时把分子分母中系数的最大公约数约去；（2）约分的依据是分式的基本性质；（3）若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．（4）当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：（其中n为自然数）。（5）分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。5.通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．注：(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；(2)不要把通分与去分母混淆，通分的依据是分式的基本性质，去分母的依据是等式的基本性质．6.分式的加减法法则(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．7.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．注：（1）在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，此时乘法运算可以直接运用法则计算：（2）分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否约分，然后再乘：（3）分式的除法可以统一成分式的乘法：（4）分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。8.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．注：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。知识点三、分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注：解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。3.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．知识点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．四、规律方法指导1.分式的概念需注意的问题(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；(2)分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．2.约分需明确的问题(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.4.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系;(2)设——合理设未知数;(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程;(5)验——检验增根；(6)答——答题．经典例题透析类型一：分式及其基本性质1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A.B.C.D.思路点拨：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。即若是一个分式，则有意义B≠0。当x＝0时，x2＝0，所以选项A不是；当x＝－时，2x＋1＝0，所以选项B不是；因为x2≥0，所以x2＋1＞0，即不论x为何实数，都有x2＋1≠0，所以选项C是；当x＝±1时，｜x｜－1＝0，所以选项D不是。答案：C。总结升华：分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零。2．若分式的值等于零，则x＝_______；思路点拨：根据分式的值为零的条件，即：如果是一个分式，且＝0可以得到A=0，B≠0.解析：由x2－4＝0，得x＝±2.当x＝2时x－2=0，所以x＝－2；总结升华：分式等于零的条件是：分子等于零，分母不等于零，两个条件缺一不可。3．求分式的最简公分母。思路点拨：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母中的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。指出：12x3y4z，24x6y6z，48x5y9z，……都是上述三个分式的公分母，其中12x3y4z是这些公分母中最简单的一个，称为最简公分母。解析：最简公分母为12x3y4z总结升华：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。举一反三：【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．－1B．0C．1D．±１（2）当x________时，分式没有意义．【答案】（1）由题意知，当x－1=0，且x＋1≠0时，分式的值等于0，所以x=1．故应选C．（2）当x－1=0，即x=1时，分式没有意义．【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．类型二：分式的运算技巧(一)通分约分4．化简分式:思路点拨：本题若通过常规方法：各分式分别通分计算非常复杂；根据分式特征，可通过约分化简分式后再计算，这是分式计算常用的技巧．我们在通分之前，先要观察分式的特征，多项式能先因式分解的先因式分解，能先约分化简的尽量先约分以达到简便计算的目的．解析：原式总结升华：观察题目中分式的特点是寻找解题思路的关键．举一反三：【变式1】顺次相加法计算：【答案】注：本题若采用常用的直接通分再相加的方法，则运算较为繁琐；若通过先把两个分式相加减，化简后再把所得结果与第三个分式相加减，顺次运算，则运算较为简单．【变式2】整体通分法计算：【答案】原式注：本题若把单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便．（二）裂项或拆项或分组运算5．巧用裂项法计算：思路点拨：本题出现了10个分式相加，无法直接通分；而本题分式的特征比较特殊，事实上分式，凡是符合上述特征的分式都可适用裂项法，裂项后便可以相互抵消，起到简便运算的功效．解析：原式总结升华：分式计算时先对分式的分子与分母因式分解有利于发现分式之间的联系．举一反三：【变式1】分组通分法计算：【答案】原式注：当出现三个以上异分母分式相加减时，可考虑分组通分法，分组的原则是使分组后各组运算的结果出现分子是常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便．【变式2】巧用拆项法计算：【答案】原式注：本题如果先通分，运算量非常大，考虑到分子分母是齐次多项式，把分子降次化简后，分式就相当简单，起到简便运算的效果．类型三：条件分式求值的常用技巧6．参数法已知，求的值．思路点拨:当已知条件为形如的连比等式，所要求值的分式是一个含有而又不易化简的分式时，通常设，将其变形为,然后再代入分式求值．解析：设，则，代入总结升华：引入一个设而不求的未知数会引出意想不到的效果．举一反三：【变式1】整体代入法已知，求的值.【答案】本题是上面例子的变式，我们可把条件变换成适合所求分式中的代数式的形式，如把去分母化为的形式代入原式,而原式，这样就达到了整体代入，化简求值的效果．【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．【答案】【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．【答案】由上述两个方程易得代入分式化简得.类型四:解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．（一）与异分母相关的分式方程7．解方程=思路点拨：等号两边只有一个分式时，使用交叉相乘的方法解析：7x=5（x－2），解得x=－5经检验，x=－5是原分式方程的根。总结升华：注意去分母、去括号和移项等过程中的符号问题.举一反三：【变式1】换元法解方程：=－3【答案】设y=x－2，则x=y+2,原方程变为=－2亦即0=－2矛盾．故原方程无解．（二）与同分母相关的分式方程8．解方程=2+思路点拨:如果有同分母分式，先进行同分母分式的加减法。解析：原方程可化为=2，即1=2矛盾．故原方程无解．总结升华：同分母分式的加减法可以简化运算量.举一反三：【变式1】解方程－=8【答案】原方程可化为1－+=8即1=8矛盾．故原方程无解．【变式2】解方程+=1【答案】通分得,=0,故x=0经检验，x=0是原方程的解。【变式3】解关于x的方程+=+（a≠b）【答案】原方程化为=由于分子相等，那么分母必相等，得x=ab．类型五：分式（方程）的应用9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？思路点拨：平均价格是两次买进白糖的总价钱除以总糖量.由于两次买糖的价格不一样，可设两次的价格分别为x、y（单位：元/斤），只要列出代数式表示甲、乙两人买糖的平均价格，用作差的方法即可.解析：设两次买糖的进价分别为x、y（单位：元/斤），A、B分别是甲、乙两人买糖的平均进价.由题意得A==B==B－A=－==＞0所以乙的平均价格高.按甲的进货策略进货更合理.总结升华：应用题的关键是找到各个量之间的关系举一反三：【变式1】甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，