分式的意义及性质

分式的意义及性质编稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳目标认知学习目标1．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。2．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。重点分式的意义及其基本性质。难点分式的变号法则。知识要点梳理要点一：分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。要点诠释：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件1、分式有意义的条件是分式的分母不为0；2、分式无意义的条件是分式的分母为零；3、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。要点诠释：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式中隐含着，即这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。要点三：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。要点诠释：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件.如，变形时，必须满足2x+1≠0。（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了。知识点四：分式的变号法则一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。要点诠释：（1）改变符号时应该是分子、分母整体的符号，而不是分子、分母中某一项的符号；（2）一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何一个或三个，得到的分式成为原分式的相反数。要点五：分式的约分与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。要点诠释：（1）约分的依据是分式的基本性质；（2）约分的方法是：先把分子、分母分解因式（分子、分母是多项式时），然后约去它们的公因式；（3）找公因式的方法：先分解因式，系数取最大公约数，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次幂；（4）约分要彻底，使分子、分母没有公因式，分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。要点六：分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。要点诠释：（1）通分的依据是分式的基本性质；（2）通分的关键是寻求几个分式的最简公分母：①最简公分母：几个分式进行通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母；②寻求最简公分母应注意以下几点：(ⅰ)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的；(ⅱ)如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；(ⅲ)如果分母是多项式，一般应先分解因式。（3）通分的方法是：先求各分式的最简公分母，然后以每个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘分式的分子、分母。要点七：整式和分式1、有理式的概念：整式和分式统称为有理式。2、有理式的分类：3、整式和分式的区别：分式的本质特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不为零的具体数。规律方法指导１．关于分式强调两点：在中，第一，B中含有字母；第二，B不能为零。２．分母的值是零，分式没有意义。３．分子为零且分母不等于零时，分式的值等于零。４．约分根据的是分式的基本性质，对一个分式进行约分是对分式进行恒等变形的一个手段，约分前后的分式值是不变的，约分的关键是确立分式的分子与分母的公因式。５．约分要彻底，使分子、分母没有公因式。６．分式的通分也是对一个分式进行恒等变形的手段，通分前后的分式值是不变的，通分的关键是确立几个分式的最简公分母，一般地，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。经典例题透析类型一：分式的定义1．代数式，，，，中，属于分式的是____________。思路点拨：要判断一个代数式是否是分式，关键点：(1)代数式中必须有字母；（2）分母中必须含有字母。注意分式的概念是针对原式，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍然是分式。解答本题的易错点有两个：一个是，分母里的π是一个确定的值，不要把它当做字母处理了；另一个是，虽然这个式子的分子与分母能够约分化为整式，但它是一个分式，因为它的分母中含有字母。解析：分式有两个：，。总结升华：正确理解分式的概念，不能只看形式，要抓住分母中是否含有字母这一关键条件，这是判断一个式子是否为分式的重要标准。举一反三【变式】下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？(1)、；(2)、；(3)、；(4)、.【答案】属于整式的有：(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3)。类型二：分式有意义2．x取何值时，下列分式无意义？(1)、(2)、(3)、(4)、思路点拨：分式无意义的条件是：分母为0，与分式分子的值无关。解析：(1)、如果＝0，那么＝0.所以，＝0时，分式无意义(2)、如果，那么.所以，当时，分式无意义(3)、分母无论取何值时，都不可能为零，所以这个分式总是有意义的。(4)、当x=0时，分式无意义。总结升华：看一个代数式是不是分式，要看原来的式子，将分式约分是可以的，但必须考虑前提：被约去的因式不能为零。3．若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是()。A.B.C.D.思路点拨：解决此类问题要遵从一个原则，即不论分母是一个字母、一个单项式还是一个多项式，都要考虑分母不为0这个条件，也就是说，使分式有意义的条件是分式的分母不为0。解析：可用配方法，将变形为，即，此时只要m1，就恒大于0，分式就恒有意义，所以选B。总结升华：由分式的概念可知，分式有意义的条件为：分母不能为0.举一反三【变式1】当x取什么值时，下列分式有意义？(1)；(2)。【答案】(1)由x－2≠0得x≠2，即当x≠2时，分式有意义。(2)由4x+1≠0，得x≠时，分式有意义。【变式2】当x取何值时，分式有意义？【答案】当x≠－6且x≠－1时，分式有意义。【变式3】取何值时，分式有意义？【答案】如果，那么所以，当时，分式有意义类型三：分式的值为零4．当x是什么数时，分式的值是零？思路点拨：讨论何时分式的值为零时须同时考虑以下两点：(1)字母取值使得分子值为零；(2)字母取值使得分母值不为零。解析：由分子x+2＝0，得x＝－2，而当x＝－2时，分母2x－5＝－4－5≠0，所以当x＝－2时，分式的值是零。总结升华：(1)讨论分式的值必须在分式有意义的前提下进行，分式有无意义取决于分母中字母的取值，所以需讨论分母中字母的取值情况。(2)求分式中字母的取值范围时，切不可将原分式的分子，分母进行约分，否则字母的取值范围可能会被扩大。举一反三【变式】下列各分式，当x取何值时，分式有意义？当x取何值时，分式的值为零？解：(1)令3x+5＝0，得x＝－，∴当时，有意义。令x－2＝0，得x＝2又当x＝2时，3x+5≠0，∴当时，的值为零。(2)令x2－1＝0，得x1＝1，x2＝－1，∴当且时，有意义。令x2－x－2＝0，得x1＝2，x2＝－1又当x＝2时，x2－1≠0，当x＝－1时，x2－1＝0∴当时，的值为零。类型四：分式基本性质的应用5．下列各式是怎样从左边变形到右边的？思路点拨：这里的变形都是恒等变形，必须符合分式的基本性质。首先比较等式两边分式的分子或分母发生了怎样的变化，然后根据分式的基本性质，分式的分母或分子也应发生相同的变化。解析：(1)、∵y≠0∴(2)、∵x≠0∴总结升华：分式的基本性质是分式化简和分式运算的基础，应用分式的基本性质时，要注意理解“同”这个字的含义：（1）分子、分母同时变形；（2）同时变形时，必须是同一个不为零的整式。举一反三【变式1】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。(1)、；(2)、。【答案】(1)、.(2)、【变式2】下列各式与相等的是()A、B、C、D、解析：只有C选项是由的分子、分母都乘变形得到的，故选C。【变式3】填空：(1)、；(2)、.解析：(1)、∵a≠0，∴，即填a2+ab。(2)、∵x≠0，∴，即填x。【变式4】把分式中的，同时扩大2倍，则分式的值()﹒(A)扩大2倍(B)改变(C)缩小2倍(D)不改变解析：用，分别替换原式中的，，得：＝＝，由分式的基本性质，原式＝，故应选(D)。类型五：分式的变号法则的应用6．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。(1)、；(2)、；(3)、.思路点拨：(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。(2)、添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。解析：(1)、。(2)、.(3)、.总结升华：按步骤解题，首先降幂排列，然后提负号，最后运用变号法则。举一反三【变式】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：(1)、；(2)、；(3)、.【答案】(1)、.(2)、.(3)、.类型六：与约分有关计算7．约分(1)、(2)、思路点拨：(1)分式中的分子和分母都是单项式，直接可以看出，分子、分母的系数有最大公约数2，分子、分母中都含有因式b2，因此公因式是2b2，分子、分母都除以2b2..(2)分式的分子、分母是多项式，需先分别分解因式再确定分子和分母的公因式，因为x3－2x2y＝x2(x－2y)，x2y－2xy2＝xy(x－2y)，所以分子和分母的公因式是x(x－2y)，利用分式的基本性质，把分子，分母同时除以x(x－2y)，即达到了约分的目的。解析：(1)、(2)、总结升华：化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂.如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分.化简的最后结果应是最简分式或整式.举一反三【变式1】约分(1)、；(2)、思路点拨：分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去，为此，首先要找出分子与分母的公因式。【答案】(1)、＝－＝－(2)、＝＝【变式2】化简(1)、(2)、(3)、【答案】⑴、(2)、，(3)、类型七：与通分有关的计算8．通分：(1)、，；(2)、，；思路点拨：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。解析：(1)、与的最简公分母为a2b2，所以＝＝，＝＝.(2)、与的最简公分母为(x－y)(x+y)，即x2－y2，所以＝＝，＝＝.总结升华：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母。举一反三【变式1】分式的最简公分母是：_________________.答案：【变式2】对下列各式通分：（1）（2）解：（1）∵8，12，20的最小公倍数为120，字母因式、、的最高次幂分别为、、，所以最简公分母是。∴，；。（2）将分母分解因式：；。∴最简公分母为，∴，∴，∴