分数布朗运动在股票期权的应用

分数布朗运动在股票期权中的应用[内容摘要]在标的资产价格服从几何分数布朗运动模型条件下，利用分数布朗运动随机分析理论和偏微分方程方法，建立了几何布朗运动驱动下的金融市场模型，讨论了带比例交易成本的欧式期权，并且得到了相应的期权定价公式。[关键词]分数布朗运动；有效市场假设；分形市场假设；1、分数布朗运动介绍分数布朗运动具有如下几个性质：（1）Hurst参数为H(0H1)的分数布朗运动是一个连续的Gaussian过程}),({RttBH：0)]([0)0(tBEBHH且（2）当H21时,)(tBH具有长期依赖性，即：)2||2||2|(|21)()([)(HtsHtHstHBsHBEnH,且有1)(nnH①若H=21，)(tBH即为标准布朗运动B(t)，表现为随机游走特性。②若0H21,具有反持久性，即过去的增量与现在的增量呈负相关关系，H距离0越近，这种反持久性行为的强度越大。③若21H1，具有持久性，即过去的增量与现在的增量呈正相关关系，随H逐步逼近1，其持久性趋势越强。（3）自相似性。)()(tHBHadatHB2、无风险套利组合的构造为了构造出一个无风险套利资产组合，首先假设：（1）标的资产的价格运动满足：0)0(),()()()()()(sStdBtStdttSttdSH当为常数时)(,)(tt，可得：0),21)(exp()(22ttttBstSHH，从而有S(t)服从几何分数布朗运动；（2）无风险利率r是常数；（3）原生资产不支付股利；（4）不存在交易成本和税收等影响因素，且无套利机会存在。在21H1和风险中性的假设条件之下，利用-对冲，推导出分数布朗运动下的期权价格的偏微分方程。建立一个资产组合：SC，其中为原生资产的份额，选取适当的使得在（t,t+dt）时段内，这一资产组合是无风险的。已经证明不存在无风险套利。又因为有)(],0[)())(()()222)(()()(uStHBuCSHHBuCSSC且有012)(),()()(HHSduuSSC由以上两式可得：)()()()())(,()(222122tdBSSdtsSStHtdStStdCtdHSDSDSDHtD又因为SC和dttrtd)()(从而得到分数布朗运动下的偏微分方程①如下：0222122rCSCrSSCStHtCH3、在期权股票的应用3.1看涨-看跌期权的平价关系设c(S,t),p(S,t)分别为具有相同执行价格K和到期时T的欧式看涨与看跌期权的价格，其中无风险利率为r，，红利支付率为，则看涨-看跌平价公式为：)(),()(),(tTSetSptTrKetSc证明：因为看涨期权与看跌期权存在如下关系：KStS：WSKtSptS，cKStSpKStS，cKSSKKStSptSctSW),(),(,0),(0),(,),()()(),(),(),(由此可得时当时当所以，W(S,t)必然会满足以下关系：KSTtWrWSWSrSWSHtHtW|0)(222122设KtStW)()(,将其代入上式，得到0)()('0)()()()(')(),(0])()([)()(')('trttrtrt：，ttKtStrtrSKtSt使得如下两个式子成立选取适当又有)()(,)()(1)(,1)(tTrettTet：TT所以代入求解，即可得看涨-看跌平价关系：)(),()(),(tTSetSptTrKetSc3.2有红利支付时的股票期权定价当对有红利支付的股票期权进行定价时，假设红利支付率为：利用_对冲，可以构造一个这样的投资组合：SC其中股票价格的变动满足：)()()()()(tHdBtSdttSutdS在风险中性假设之下，u=r（r为无风险利率）满足从而得出期权价格时段内是无风险的在使得且有),(),(:tSC，dttt，SV)(|0)(222122KSTtCrCSCSrSCSHtHtC利用本文介绍的推导方法可以得出:)2()()1()()())(,(dNtTrKedNtTetStStC,其中：HHHHtTtTtTrKtSd222221)(2))(())(ln(HHHHtTtTtTrKtSd222222)(2))(())(ln(4、结论本文通过对分数布朗运动下的期权公式的证明，论证了布朗运动只是分数布朗运动在H=21的一个特例，然后在此基础上，将这一公式推广应用于看涨-看跌期权平价公式和有红利支付的股票期权定价分析之中。本文论证的分数布朗运动下的期权公式可以应用于当前的金融市场定价问题之中，能很好地解释金融资产的价格变动现象。