初三数学圆知识点

BACEDONM24．1圆第一课时教学内容1．圆的有关概念．2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当水面距离拱顶小于3.5米时要采取措施。问洪水泛滥，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．解：不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18R2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324解得R=34（m）连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16342=162+（34-x）2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64（不合设）∴DE=4∴不需采取紧急措施．一、选择题．1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（D）．A．CE=DEB．C．∠BAC=∠BADD．ACAD(1)(2)(3)2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（D）A．4B．6C．7D．83．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（D）A．AB⊥CDB．∠AOB=4∠ACDC．D．PO=PD二、填空题1．如图4，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_8____．BCBDBACEDOBAOMBACDPOADBDBC(4)(5)2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为___8__；最长弦长为10____．3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_AB=CD______（只需写一个正确的结论）4．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．解答（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:∵AB=16，AC=8，AD=8，∴AC=（AB），∴∠CAB=60°，同理可得∠DAB=30°，∴∠DAC=30°．（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．24.1圆(第2课时)教学内容1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A．=2B．C．2D．不能确定3．如图5，⊙O中，如果=2，那么（）．A．AB=ACB．AB=ACC．AB2ACD．AB2AC(5)(6)二、填空题BACEDOBACEDOF3121212ABCDABCDABCDABACOBACOBACED1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．答案：一、1．D2．A3．C二、1．圆的旋转不变形2．或3．324.1圆(第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB∵CD是直径∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt△DBC中，sinD=，即2R=同理可证：=2R，=2R∴===2R一、选择题1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．A．140°B．110°C．120°D．130°(1)(2)(3)1353sinaAsinbBsincCsinaAsinbBsincCsinaAsinbBsincC2aR2bR2cRBCDCsinaAsinbBsincCsinaAsinbBsincC2143OBACD2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4∠1∠2∠3B．∠4∠1=∠3∠2C．∠4∠1∠3∠2D．∠4∠1∠3=∠23．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（）．A．3B．3+C．5-D．5二、填空题1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．(4)(5)3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．一、1．D2．B3．D二、1．120°或60°2．90°3．24.2点和圆的位置关系教学目标(一)教学知识点了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．不在同一直线上的三个点确定一个圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．一、选择题．1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．42．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．A．2.5B．2.5cmC．3cmD．4cm31233OBAC21ED333．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（）A．522B．52C．2D．3二、填空题．1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________个圆，圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，圆心是________的交点．2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．答案：一、1．B2．B3．A二、1．无数，无数，线段PQ的垂直平分线，一个，三边中垂线2．33a36a3．斜边内外24.2直线和圆的位置关系教学目标(一)教学知识点1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．直线和圆有三种位置关系，如下图：(1)从公共点的个数来判断：直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：d＜r时，直线与圆相交；BACBACDOd＝r时，直线与圆相切；d＞r时，直线与圆相离．如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小．若d＞200，则无影响，若d≤200，则有影响．解：(1)过A作AC⊥BF于C．在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，∴AC＝ABsin30°＝300×12＝150(千米)．∵AC＜200，∴A城受到这次台风的影响．(2)设BF上D、E两点到A的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外时，对A城没有影响．∵AC＝150，AD＝AE＝200，∴DC＝22200150507．∴DE＝2DC＝1007．∴t＝1007107sv＝10(小时)．答：A城受影响的时间为10小时．24.2直线和圆的位置关系(2)教学目标(一)教学知识点1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．判定圆的切线的又一种方法：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径．例：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．证明：连结OD．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°．∴DC是⊙O的切线．练习1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（）A．41B．40.14.60CD2．下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线．B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．BACDOBACPO2．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=SP，其中P=12（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=12（a+b-c）答案:一、1．A2．B二、1．4122．33323232120°3．130°160°三、2．（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，则S△ABC=12AB·r+12BC·r+12AC·r，则r=sp；（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C=90°，ID=IE，∴DIEC为正方形，∴CE=CD=r，∴AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，∴b-r+a-r=c，∴r=12