初中升高中数学衔接教材[1]

1第一节乘法公式、因式分解重点：十字相乘法，分组分解法，试根法难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程：一、乘法公式二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等）（1）十字相乘法试分解因式：)2)(1(232xxxx要将二次三项式x2+px+q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p,满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).用十字交叉线表示:1a1ba+b（交叉相乘后相加）若二次项的系数不为1呢？)0(2acbxax，如：3722xx如何处理二次项的系数？类似分解：1－32－1-6+-1=-7)12)(3(3722xxxx整理：对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：a1+c1a2+c2a1c2+a2c1=a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。〔按行写分解后的因式〕十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，如何简化例2：因式分解：（1）5762xx（2）22865yxyx（3）2)322)((yxyx（2）分组分解法分解ynymxnxm，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字相乘法两种方法适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，····叫分组分解法▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式2练习：因式分解（1）xxx33923（2）224)1(4yxyx归纳：如何选择适当的方法作业：将下列各式分解因式（1）652xx；（2）652xx；（3）652xx；（4）652xx（5）2223aaxx；（6）baabba2222（7）646a；（9）axax)1(2第二节二次函数及其最值重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题难点：给定区间的最值问题教学过程：一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）二次方程)0(02acbxax什么时候有根（判别式0时），此时由求根公式得，aacbbx242，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方程，直接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，abaacbbaacbbxx24242221acaacbbaacbbxx24242221反过来，若21,xx满足acxxabxx2121,，那么21,xx一定是)0(02acbxax的两根，即韦达定理的逆定理也成立。作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为1）：0)(21212xxxxxx例1：21,xx是方程05322xx的两根，不解方程，求下列代数式的值；①2221xx②||21xx二、二次函数的三种形式(1)一般式：)0(2acbxaxy3(2)顶点式：)0()(2akhxay，其中顶点坐标为（h，k）练：求下列函数的最值。（1）542xxy（2）8632xxy（3）4322xxy除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与x轴的交点，得出另一种表示方法；函数)0(2acbxaxy的图像与x轴公共点的横坐标就是方程02cbxax的根，那它根的情况由谁决定，（判别式），当方程有两根21,xx时，由韦达定理可知acxxabxx2121,，所以))((])([)(212121222xxxxaxxxxxxaacxabxacbxaxy，这是二次函数的交点式。（3）交点式：)0)()((21axxxxay▲根据题目所给条件，适当选择三种形式。例2：分别求下列一元二次函数的解析式。（P43－44）（1）已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2；（2）已知二次函数的对称轴为x＝1，最大值为15，图象与x轴有两个交点，其横坐标的立方和为17；三、二次函数在给定范围内的最值问题例3、已知函数322xxy，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值:(1)2x;(2)2x;(3)12x;(4)30x动范围问题（选讲）例4、已知aax(1为大于－1的常数），求函数2xy的最大值M和最小值m。（P50）▲数形结合，根据对称轴与取值范围内图象的相对位置进行分类讨论，把握好为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。（要讲到位）作业：1、已知某二次函数的图象的顶点为A（2，18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求此二次函数的解析式。2、如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃。（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（2m），求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少4第三节比例关系，性质及其应用教学过程：4个非零数a，b，c，d成比例，即dcba::，也可写成dcba，其中a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项，d叫做a，b，c的第四比例项。特别的当比例内项相等时，即cbba::，（或cbba），此时b叫做ac的比例中项。一、比例的性质1、基本性质)0(bdbcaddcba，比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积。特别地，)0(2bcacbcbba2、更比性质当abcd0时，cadbcdabbcaddcba比例式有多种变形形式：内项和外项可以相应的交换位置（注意是对应位置，即交叉相乘相等出现的式子是一样的）3、合比性质ddcbbadcba（证明：两边＋1）4、等比性质bandbmcandbnmdcba)0(（证明：用中间量k过渡，这种设k的方法在解决比例问题中很常用）例1：(1)已知83bba，求证：811ba（2）已知)0(dbdcba，求证：dbdbcaca（3）已知,4,3fdbfedcba求eca的值。（比例性质的灵活使用）二、比例性质的应用（一）平行线等分线段定理1、由特殊：“三条平行线被两条直线所截”情况入手，观察（平行非平行）、猜想：不管l与l是否平行，只要,3221AAAA就有3221BBBB。l1l2l3l'lA3B2A2B1A1B3l1l2l3ll'B3B2B1A3A2A1C2C3C1证明：（1）先证//ll时，（特殊位置）（2）再证l不平行l时，（引导如何思考：将一般位置化归为特殊位置处理：辅助线作法两种（上图）5DCAB〔给学生指出：在研究问题中，将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题，这是解决数学问题不可缺少的思想方法――－化归思想〕从运动的角度看，将l平移，使得l与1l相交于1A，得出推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边；例2：已知三角形ABC中，AD是角平行线，求证：ACABDCBD析：证比例关系，从相似，平行入手，分析思路▲三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。练习：已知在ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，则BD=_____cm.作业：1、根据下列各式，求ba:的值。（1）83bba（2）75aba2、已知,2fedcba则fdbeca3232＝_______________。3、已知在△ABC中，AB＝6,BC＝8,AC＝7，MN//AC，分别交AB，BC于点M，N，且AM＝BN，求MN的长。4、已知AD是△ABC的角平分线，BHAD，垂足为H，CKAD，垂足为K，求证：DKDHACAB第四课时一、Rt的射影定理及其应用①RtABC中，CD是斜边AB上的高，图中线段AC、BC、AD、BD、CD之间有些怎样的关系呢？（比如等量关系、大小关系、比例关系等）让学生探究得出以下结论（1）BDADCD2；（2）ABBDBC2（3）ABADAC2；（4）CDABBCAC其中（1）（2）（3）结论就是射影定理。②引入射影的概念（引垂直）（1）点在直线上的正射影（2）线段在直线上的正射影③射影定理：从射影的角度把刚才的结论叙述一遍。④射影定理的应用：求Rt的边长、面积等有关量，研究相似、比例式的问题点和线段的正射影简称为射影。6练习：圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2,DB＝8，求CD、AC和BC的长。〔学生运算（此题是射影定理的典型应用，尤其是与圆结合）〕例1:ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且DBADCD2，求证：ABC是直角三角形。〔表示射影定理的逆定理也成立〕二、常见的轨迹（1）到两定点距离相等的点的轨迹是____________________________________（2）到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是____________________________________（3）与一条直线的距离等于定长的点的轨迹是____________________________________（4）与两条平行直线距离相等的点的轨迹是____________________________________（5）与相交两直线距离相等的点的轨迹是____________________________________（6）与已知线段两端点所连线段相互垂直的点的轨迹是____________________________________三、三角形的“心”（结合图形）（1）内心―――内切圆的圆心―――圆心到三边的距离相等――－三条内角平分线的交点（2）外心―――外接圆的圆心――－圆心到三个顶点的距离相等―――三条垂直平分线的交点可得▲Rt△的外心就是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内，而钝角三角形的外心在三角形外（3）重心―――中线的交点―――重心到顶点与到对边中点的距离之比为2:1（利用中点作平行线构造平行四边形可证明）（4）垂心―――－高的交点Rt△的垂心就是直角顶点，锐角三角形的垂心在三角形内，而钝角三角形的垂心在三角形外心要求：清楚上述“四心”对应的性质，从形的角度理解和记忆，并能运用性质解题问：等腰三角形的四心有何特殊？（三线合一，则四心必在同一直线上）那等边三角形呢？（四心合一，称为中心）例2：（1）已知直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，则内切圆的半径为r＝____________（2）在△ABC中，AB＝AC＝5,BC＝6，求：①△ABC内切圆的半径；②外接圆的半径。作业：1、在△ABC中，ACB＝90°，CDAB于点D，M是AB的中点，点E在CD上，且MEBE于点E，求证：BC＝2BE。2、等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆半径为_________，外接圆半径为________。3、一个正三角形的边长为6，求此三角形的外接圆和内切圆的半径，能否得出任意一个正三角形的外接圆和内切圆的半径与高的比是定值？