初中数学专题复习分类讨论问题1

-1-初三数学专题复习—分类讨论问题在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。它体现了数学中化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．一、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A.7㎝B.8㎝C.7㎝或1㎝D.1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、练习1．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是()A．(4,0)B．(1,0)C．(－22，0)D．(2,0)2．若函数y＝x2＋x，2xx＞，则当函数值y＝8时，自变量x的值是()A．±6B．4C．±6或4D．4或－63．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)，连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是()A．(8,4)B．(8,4)或(－3,4)C．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为多少cm2？()A．4B．12C．4或12D．6或85．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于点A(m,1)，则k的值是()-2-A．－2或2B．－22或22C.22D.26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．一个等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角是°7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有_____个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为多少？9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为多少？10．(柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．11．(南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．12、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．-3-中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。⑵若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，⑶若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。∴第三边长为。【例题2】解：因为弦AB、CD均小于直径，故可确定出圆中两条平行弦AB和CD的位置关系有两种可能：一是位于圆心O的同侧，二是位于圆心O的异侧。如图1，过O作EF⊥CD，分别交CD、AB于E、F，则CE＝4㎝，AF＝3㎝。由勾股定理可求出OE＝3㎝，OF＝4㎝。当AB、CD在圆心异侧时，距离为OE＋OF＝7㎝。当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF－OE＝1㎝。选C。图1【例题3】解：勾股定理可得AE＝。当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：⑴当DM与BE是对应边时，，即。⑵当DM与AB是对应边时，，即故DM的长是。【例题4】：⑴过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，∴PM＝DC＝12。∵QB＝16－，∴。⑵由图可知，CM＝PD＝2，CQ＝，若以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况：①以Q为顶点，由图可知，PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，解得。②若以B为顶点，则BQ＝BQ。在Rt△PMB中，，即，∵△＝，∴解得无解，∴。-4-③若以P为顶点，则PB＝PQ。在Rt△PMB中，。解得不合题意，舍去）。综合上面原讨论可知：当秒或秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。二、当堂达标参考答案1、答案B解析当P点坐标为(4,0)时，点A在OP的中垂线上，OA＝PA；当P点坐标为(－22，0)时，OP＝OA＝22；当P点坐标为(2,0)时，OP＝AP＝2，所以P点坐标不可能为(1,0)．2、答案D解析当x≤2时，x2＋2＝8，x＝±6(舍去6)；当x2时，2x＝8，x＝4.综上，x＝－6或x＝4.3、答案D解析∵点A的坐标为(3,4)，∴OA＝32＋42＝5.当AP＝AO时，可知P1(－2,4)，P2(8,4)，当OP＝OA时，可知P3(－3,4)，当PO＝PA时，设PO＝PA＝m.有(m－3)2＋42＝m2，m＝256，∴m－3＝76，P4－76，4，故选D.4、答案C解析如图①，S矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.5、答案B解析A(m,1)代入y＝kx中，得m＝k，代入y＝2kx中，得2k2＝1，k2＝12，所以k＝±22.6、答案70°，70°，40°或55°，55°，70°解析当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为180°－70°2＝55°.7、答案4解析当MC为底边时，MC的中垂线交CD于一点P，该点能满足PM＝PC；当MC为腰时，分别以C、M为圆心，MC长为半径画圆，⊙C与CD交于一点P，⊙M与AB、AD各有一个交点，因此，满足条件的点P有4个．8、答案11或13解析当0t≤12时，点P在AB上，2(t＋3)＝12＋3＋(12－t)，t＝11；当12t24时，点P在AC上，2[3＋(24－t)]＝3＋12＋t，解得t＝13.9、答案1或5解析题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F1点，则F1C＝1；旋转得到F2点，则F2B＝DE＝2，F2C＝F2B＋BC＝5.10、解∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°，AB＝2BC＝4.当∠BFE＝90°时，∵F是BC中点，∴BF＝12×2＝1.在Rt△BEF中，∠B＝60°，∴BE＝2BF＝2×1＝2，AE＝4－2＝2.-5-又∵AE＝2t，∴2t＝2，t＝1.当∠BEF＝90°时，在Rt△BEF时，BE＝12BF＝12，∴AE＝4－12＝312，∴2t＝312，t＝1.75.同样，当t＝1.75＋12＝2.25时，∠BEF＝90°.综上，t＝1或1.75或2.25.11、解(1)证明：将C，E两点的坐标代入y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，得4a＋k＝2，9a＋k＝2，解得a＝0，∴与条件a＞0不符，∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．(2)解法一：∵A、C、D三点共线(如下图)，∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：①A、B、C；②A、B、E；③A、B、D；④A、D、E；⑤B、C、D；⑥B、D、E.将①、②、③、④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解．所以A点不可能在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．解法二：抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)的顶点为(1，k)，假设抛物线过A(1,0)，则点A必为抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与(1)矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．(3)①当抛物线经过(2)中⑤B、C、D三点时，则a＋k＝－1，4a＋k＝2，解得a＝1，k＝－2.②当抛物线经过(2)中⑥B、D、E三点时，同法可求：a＝38，k＝－118.综上，a和k的值为a＝1，k＝－2或a＝38，k＝－118.12、.解：(1)过点A、c直线的解析式为y=32x－32(2)抛物线y=ax2－5ax+4a．∴顶点N的坐标为(52，－94a)．由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，12＜－94a＜2，解这个不等式，得－98＜a＜－29．(3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x在Rt△ABF中，由勾股定理得x=98，BF=78-6-