初中数学弧长及扇形的面积教学设计

初中数学弧长及扇形的面积教学设计课时安排1课时从容说课本节课的内容为弧长及扇形的面积，是在学习了圆的有关性质后，利用圆的性质探索推导弧长及扇形的面积，并能运用得出的结论进行有关计算，实质上是圆的有关性质的运用．本节的重点和难点是学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积，并能应用公式解决问题．在教学中，教师不要急于给出学生公式，而要引导学生自己根据已有的知识推导公式．如果学生有困难，可以采取小组合作的形式解决．这样既能使学生有成就感，又能培养他们的探索能力，还能使所学知识掌握得比较牢固，那么运用公式进行计算来解决问题就比较容易了．课题§3．7弧长及扇形的面积教学目标(一)教学知识点1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．(二)能力训练要求1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．(三)情感与价值观要求1．经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题．让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．教学重点1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．2．了解弧长及扇形面积计算公式．3．会用公式解决问题．教学难点1．探索弧长及扇形面积计算公式．2．用公式解决实际问题．教学方法学生互相交流探索法教具准备2．投影片四张第一张：(记作§3．7A)第二张：(记作§3．7B)第三张：(记作§3．7C)第四张：(记作§3．7D)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．Ⅱ．新课讲解一、复习1．圆的周长如何汁算?2，圆的面积如何计算?3．圆的圆心角是多少度?[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°．二、探索弧长的计算公式投影片(§3．7A)如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?[师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的3601；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍．[生]解：(1)转动轮转一周．传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送1836020cm；(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×1836020ncm．[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为1803602RR，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×180180RnR.[师]表述得非常棒．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：l=180Rn.下面我们看弧长公式的运用．三、例题讲解投影片(§3．7B)制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1mm)．分析：要求管道的展直长度．即求弧AB的长，根据弧长公式l＝180Rn可求得弧AB的长，其中n为圆心角，R为半径．解：R＝40mm，n=110．∴弧AB的长=180nπR=弧180110×40π≈76．8mm．因此．管道的展直长度约为76．8mm．四、想一想投影片(§3．7C)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?[师]请大家互相交流．[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的弧3601，即3602R×9π=40n，n°的圆心角对应的圆面积为n×40n=40n．[师]清大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．[生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为3602R，n°的圆心角对应的扇形面积为n·3602R=3602Rn．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝360nπR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．五、弧长与扇形面积的关系[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝180nπR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝360nπR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．[生]∵l=180nπR，S扇形=360nπR2，∴360nπR2=21R·180nπR．∴S扇形=21lR．六、扇形面积的应用投影片(§3．7D)扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0．1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0．1cm2)分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径尺和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．解：弧AB的长=180120π×12≈25．1cm：S扇形=360120π×122≈150．7cm2．因此，弧AB的长约为25．1cm，扇形AOB的面积约为150．7cm2．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：1．探索弧长的计算公式l＝180nπR，并运用公式进行计算；2．探索扇形的面积公式S＝360nπR2，并运用公式进行计算；3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．Ⅴ．课后作业习题3．10Ⅵ．活动与探究如图，两个同心圆被两条半径截得的弧AB的长为6πcm，弧CD的长为10πcm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝21lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA+AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．解：设OA＝R，OC＝R+12，∠O＝n°，根据已知条件有：6π=180nπR①10π=180nπ(R+12)②由①/②得1253RR.∴3(R+12)=5R，∴R＝18．∴OC＝18+12＝30．∴S＝S扇形COD-S扇形AOB＝21×10π×30-21×6π×18＝96πcm2．所以阴影部分的面积为96πcm2．板书设计§3．7弧长及扇形的面积一、1.复习圆的周长和面积计算公式；2．探索弧长的计算公式；3．例题讲解；4．想一想；5．弧长及扇形面积的关系；6．扇形面积的应用．二、课堂练习三、课时小结四、课后作业备课资料一、参考例题[例]如图，已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以2a为半径的圆相切于点O1、O2、O3．求弧O1O2，弧O2O3，弧O3O1,围成的图形面积S(图中阴影部分)．分析：阴影部分的面积等于△ABC的面积减去三个扇形AO1O3、BO1O2、CO2O3的面积，而这三个扇形面积相等．解：∵S△ABC=21a·4323aa2，S扇形AO1O3=24360)2(6022aaa2，∴S阴影＝S△ABC-3S扇形AO1O3=8322434322aaa2